Polinomios aleatorios en espacios de Banach y aplicaciones a series de Dirichlet

• Autores: Marceca, Felipe
• Año de publicación: 2021
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Carando, Daniel German
• Materia: POLINOMIOS ALEATORIOS VECTORIALES; DESIGUALDADES DE DECOUPLING; TIPO Y COTIPO; SERIES DE DIRICHLET VECTORIALES; VECTOR-VALUED RANDOM POLYNOMIALS; DECOUPLING INEQUALITIES; TYPE AND COTYPE OF BANACH SPACES; VECTOR-VALUED DIRICHLET SERIES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Esta tesis estudia polinomios a valores vectoriales en varias variables aleatorias y aplicaciones a series de Dirichlet vectoriales. Hacer análisis en espacios de Banach requiere trasladar resultados del contexto escalar al vectorial. La validez de estos resultados generalizados depende de la estructura geométrica del espacio, que usualmente se describe en términos de objetos lineales. Los polinomios vectoriales se pueden usar para cerrar la brecha entre lo lineal y lo no lineal permitiendo así llevar a cabo este proceso de generalización que va de propiedades geométricas del espacio de Banach a resultados analíticos para funciones vectoriales. Usamos esta estrategia para obtener desigualdades del tipo Hausdorff-Young para series de Dirichlet vectoriales, relacionando la norma de una serie con la de sus coeficientes. Para lograr esto, probamos que los reconocidos conceptos de tipo y cotipo tienen una reformulación polinomial equivalente. Este resultado es de interés en sí mismo y es la contribución principal de esta tesis. Las versiones polinomiales de tipo y cotipo comparan la norma de un polinomio en varias variables aleatorias con la norma de sus coeficientes. Esta comparación se extiende a funciones vectoriales en infinitas variables y es aplicada a series de Dirichlet. Las desigualdades de decoupling desentraman estructuras de dependencia complejas de objetos aleatorios para que puedan ser analizados mediante técnicas clásicas de la teoría de variables aleatorias independientes. Para obtener versiones polinomiales de tipo y cotipo, brindamos desigualdades de decoupling para polinomios tetraedrales homogéneos. En este contexto, los polinomios se comparan con operadores multilineales asociados. Esto permite trasladar las nociones de tipo y cotipo, que son de índole lineal, al ámbito multilineal y, consecuentemente, al polinomial. Bajo condiciones geométricas más fuertes, también obtenemos desigualdades de decoupling entre polinomios aleatorios y sumas aleatorias completamente independientes de sus coeficientes. Estos resultados son llevados al contexto de series de Dirichlet y aplicados al estudio de regiones de convergencia de series de Dirichlet generales. Finalmente, el estudio del tipo y cotipo polinomiales llevó a obtener un resultado técnico de análisis asintótico. Comparamos las normas supremos de polinomios homogéneos multivariados con una versión no simétrica de la forma multilineal asociada usual.
This thesis studies vector-valued polynomials in several random variables and applications to vector-valued Dirichlet series. Doing analysis on Banach spaces requires to translate results from the scalar to the vector-valued setting. The validity of these generalized results depends on the geometric structure of the Banach space which is usually described in terms of linear objects. Vector-valued polynomials can be used to close the gap between the linear and the nonlinear setting allowing to carry out this generalization procedure going from geometric properties of the Banach space to analytic results on vector-valued functions. We use this strategy to obtain Hausdorff-Young type inequalities for vector-valued Dirichlet series relating the norm of a series with the norm of its coefficients. To achieve this we show that the well-known concepts of type and cotype have an equivalent polynomial reformulation. This result is interesting on its own and is the main contribution of this thesis. The polynomial versions of type and cotype compare the norm of a polynomial in several random variables with the norm of its coefficients. This comparison is extended to vector-valued functions in infinitely many variables and applied to Dirichlet series. Decoupling inequalities disentangle complex dependence structures of random objects so that they can be analyzed by means of standard tools from the theory of independent random variables. In order to obtain the polynomial versions of type and cotype we provide decoupling inequalities for tetrahedral homogeneous polynomials. In this context, polynomials are compared with associated multilinear operators. This allows to translate the notions of type and cotype, which are linear in nature, to the multilinear and consequently the polynomial setting. Under stronger geometric assumptions we also obtain decoupling inequalities between random polynomials and fully independent random sums of its coefficients. This results are carried to the context of Dirichlet series and applied to study regions of convergence of general Dirichlet series. Finally, the study of polynomial type and cotype lead to a technical result in asymptotic analysis comparing the supremum norms of homogeneous multivariate polynomials and a non-symmetric version of the usual associated multilinear form.
Fil: Marceca, Felipe. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.