Polinomios aleatorios en espacios de Banach y aplicaciones a series de Dirichlet - Marceca, Felipe (2021)
Esta tesis estudia polinomios a valores vectoriales en varias variables aleatorias y aplicaciones a series de Dirichlet vectoriales. Hacer análisis en espacios de Banach requiere trasladar resultados del contexto escalar al vectorial. La validez de estos resultados generalizados depende de la estructura geométrica del espacio, que usualmente se describe en términos de objetos lineales. Los polinomios vectoriales se pueden usar para cerrar la brecha entre lo lineal y lo no lineal permitiendo así llevar a cabo este proceso de generalización que va de propiedades geométricas del espacio de Banach a resultados analíticos para funciones vectoriales. Usamos esta estrategia para obtener desigualdades del tipo Hausdorff-Young para series de Dirichlet vectoriales, relacionando la norma de una serie con la de sus coeficientes. Para lograr esto, probamos que los reconocidos conceptos de tipo y cotipo tienen una reformulación polinomial equivalente. Este resultado es de interés en sí mismo y es la contribución principal de esta tesis. Las versiones polinomiales de tipo y cotipo comparan la norma de un polinomio en varias variables aleatorias con la norma de sus coeficientes. Esta comparación se extiende a funciones vectoriales en infinitas variables y es aplicada a series de Dirichlet. Las desigualdades de decoupling desentraman estructuras de dependencia complejas de objetos aleatorios para que puedan ser analizados mediante técnicas clásicas de la teoría de variables aleatorias independientes. Para obtener versiones polinomiales de tipo y cotipo, brindamos desigualdades de decoupling para polinomios tetraedrales homogéneos. En este contexto, los polinomios se comparan con operadores multilineales asociados. Esto permite trasladar las nociones de tipo y cotipo, que son de índole lineal, al ámbito multilineal y, consecuentemente, al polinomial. Bajo condiciones geométricas más fuertes, también obtenemos desigualdades de decoupling entre polinomios aleatorios y sumas aleatorias completamente independientes de sus coeficientes. Estos resultados son llevados al contexto de series de Dirichlet y aplicados al estudio de regiones de convergencia de series de Dirichlet generales. Finalmente, el estudio del tipo y cotipo polinomiales llevó a obtener un resultado técnico de análisis asintótico. Comparamos las normas supremos de polinomios homogéneos multivariados con una versión no simétrica de la forma multilineal asociada usual.