Hiperciclicidad en espacios de funciones holomorfas y pseudo órbitas de operadores lineales

• Autores: Savransky, Martín
• Año de publicación: 2015
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Pinasco, Damián; Muro, Santiago
• Materia: OPERADORES HIPERCICLICOS; PSEUDO ORBITAS; OPERADORES DE CONVOLUCION; FUNCIONES HOLOMORFAS; HYPERCYCLIC OPERATORS; PSEUDO ORBITS; CONVOLUTION OPERATORS; HOLOMORPHIC FUNCTIONS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis estudiamos distintos problemas sobre densidad de órbitas de operadores lineales. Un operador lineal se dice hipercíclico si admite una órbita densa. Podemos decir que el centrode atención es el comportamiento de las sucesivas iteraciones de un operador lineal. En otraspalabras, se estudian sistemas dinámicos discretos asociados a operadores lineales. En el contextofinito dimensional este problema se puede resolver a través del estudio de la forma de Jordanasociada a una matriz, y los comportamientos son relativamente simples (de ahí que el caos seasocia naturalmente a sistemas no lineales). Sin embargo, en espacios de dimensión infinita lossistemas lineales pueden ser caóticos, ya que aparecen fenómenos nuevos, como por ejemplo laexistencia de órbitas densas en todo el espacio. Los primeros ejemplos de operadores hipercíclicos surgieron en el contexto de la teoría defunciones analíticas. Así, en 1929, G. D. Birkhoff [Bir29] probó que para todo aϵC, a≠0,el operador traslación en el espacio de funciones enteras de variable compleja (H(C),τ) con latopología compacto-abierta, Ta : H(C)→H(C) definido por Taf(z)=f(z+a) es hipercíclico, yen 1952, G. R. MacLane [Mac52], demostró que lo mismo ocurre con el operador de diferenciación en H(C). Estos resultados fueron generalizados por G. Godefroy y J. H. Shapiro en 1991 [GS91]quienes probaron que todo operador lineal y continuo T : H(C)→H(C) que conmute con lastraslaciones y no sea un múltiplo de la identidad es hipercíclico. Esta familia de operadoresse conoce por el nombre de operadores de convolución. En esta tesis estudiamos operadoresde convolución definidos en espacios de funciones holomorfas sobre espacios de Banach. Asícomo también damos ejemplos de operadores fuera de la clase de la familia de los operadores deconvolución que resultan hipercíclicos. Estos ejemplos se presentan tanto en espacios de funcionesholomorfas de finitas variables complejas y también en espacios de funciones holomorfas definidas en espacios de Banach de dimensión infinita. Por otro lado, estudiamos pseudo órbitas de opeadores lineales. Decimos que {Xn}nϵN esuna (εn)-pseudo órbita para T si d(xn+1,T(xn)) ≤ εn para todo nϵN. Esta definición cobrasentido cuando se permite cometer un error en cada paso de la iteración del sistema. Notemosque si εn = 0 para todo nϵN, una (εn)-pseudo órbita es una órbita. Decimos que el operador Tes (εn)-hipercíclico si existe una pseudo órbita densa para la sucesión de errores (εn). Estudiamoseste concepto enmarcado dentro de la teoría de sistemas dinámicos lineales.
In this thesis we study several problems on the density of orbits of linear operators. A linearoperator is said hypercyclic if admits a dense orbit. We can say that the spotlight is the behaviorof successive iterations of a linear operator. In other words, dynamical systems associated tolinear operators are studied. In the finite dimensional context the problem is relatively simpleand it can be solved through the canonical Jordan form of a matrix. Hence, chaos is usuallyassociated to non linear systems. However, in infinite dimensional spaces linear operators canbe chaotic since new phenomena appears, such as the existence of dense orbits. The first examples of hypercyclic operators came out in the context of analytic functions. Birkhoff in [Bir29] proved that for every aϵC, a≠0, the translation operator on the spaceof one complex variable functions (H(C),τ) with the compact-open topology, Ta : H(C)→H(C) defined by Taf(z)=f(z+a) is hypercyclic. MacLane in [Mac52], proved that the sameoccurs with the derivative operator on the space H(C). Both results were generalized by aremarkable theorem due to Godefroy and Shapiro [GS91], who proved that every linear operatorthat commutes with the translation on H(C^N) and is not a scalar multiple of the identityis hypercyclic. This family of operators is known as the class of (non trivial) "convolutionoperators". In this thesis we study convolution operators defined on spaces of holomorphicfunctions on Banach spaces. In addition, we show examples of non convolution hypercyclicoperators defined on spaces of holomorphic functions of finite complex variables and also forspaces of holomorphic functions defined on infinite dimensional Banach spaces. On other side, we deal with pseudo orbits of linear operators. We say that {Xn}nϵN isa (εn)-pseudo orbit of T if d(xn+1,T(xn)) ≤ εn for any nϵN. This definition becomesmeaningful when a small measurement error is committed in each step of the iteration. Wesay that an operator T is (εn)-hypercyclic if admits a dense pseudo orbit for the error sequence (εn)nϵN. We study this new concept framed on the theory of linear dynamical systems.
Fil: Savransky, Martín. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.