Hiperciclicidad en espacios de funciones holomorfas y pseudo órbitas de operadores lineales - Savransky, Martín (2015)
En esta tesis estudiamos distintos problemas sobre densidad de órbitas de operadores lineales. Un operador lineal se dice hipercíclico si admite una órbita densa. Podemos decir que el centrode atención es el comportamiento de las sucesivas iteraciones de un operador lineal. En otraspalabras, se estudian sistemas dinámicos discretos asociados a operadores lineales. En el contextofinito dimensional este problema se puede resolver a través del estudio de la forma de Jordanasociada a una matriz, y los comportamientos son relativamente simples (de ahí que el caos seasocia naturalmente a sistemas no lineales). Sin embargo, en espacios de dimensión infinita lossistemas lineales pueden ser caóticos, ya que aparecen fenómenos nuevos, como por ejemplo laexistencia de órbitas densas en todo el espacio. Los primeros ejemplos de operadores hipercíclicos surgieron en el contexto de la teoría defunciones analíticas. Así, en 1929, G. D. Birkhoff [Bir29] probó que para todo aϵC, a≠0,el operador traslación en el espacio de funciones enteras de variable compleja (H(C),τ) con latopología compacto-abierta, Ta : H(C)→H(C) definido por Taf(z)=f(z+a) es hipercíclico, yen 1952, G. R. MacLane [Mac52], demostró que lo mismo ocurre con el operador de diferenciación en H(C). Estos resultados fueron generalizados por G. Godefroy y J. H. Shapiro en 1991 [GS91]quienes probaron que todo operador lineal y continuo T : H(C)→H(C) que conmute con lastraslaciones y no sea un múltiplo de la identidad es hipercíclico. Esta familia de operadoresse conoce por el nombre de operadores de convolución. En esta tesis estudiamos operadoresde convolución definidos en espacios de funciones holomorfas sobre espacios de Banach. Asícomo también damos ejemplos de operadores fuera de la clase de la familia de los operadores deconvolución que resultan hipercíclicos. Estos ejemplos se presentan tanto en espacios de funcionesholomorfas de finitas variables complejas y también en espacios de funciones holomorfas definidas en espacios de Banach de dimensión infinita. Por otro lado, estudiamos pseudo órbitas de opeadores lineales. Decimos que XnnϵN esuna (εn)-pseudo órbita para T si d(xn+1,T(xn)) ≤ εn para todo nϵN. Esta definición cobrasentido cuando se permite cometer un error en cada paso de la iteración del sistema. Notemosque si εn = 0 para todo nϵN, una (εn)-pseudo órbita es una órbita. Decimos que el operador Tes (εn)-hipercíclico si existe una pseudo órbita densa para la sucesión de errores (εn). Estudiamoseste concepto enmarcado dentro de la teoría de sistemas dinámicos lineales.