Cotas y estimaciones asintóticas para autovalores de problemas elípticos no lineales

• Autores: Pinasco, Juan Pablo
• Año de publicación: 2005
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Durán, Ricardo Guillermo
• Materia: AUTOVALORES; COTAS; ESTIMACIONES ASINTOTICAS; P-LAPLACIANO; STURM LIOUVILLE; DESIGUALDAD DE LYAPUNOV; EIGENVALUE BOUNDS; ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF EIGENVALUES; P-LAPLACIAN; STURM LIOUVILLE THEORY; LYAPUNOV INEQUALITY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]. En este trabajo obtendremos cotas y estimaciones asintóticas para los autovalores {λk}k del p-Laplaciano unidimensional con una función peso r(t): −(|u’(t)|^p−2 u’(t))’ = λr(t)|u(t)| p−2u(t), con diferentes condiciones de borde. Obtendremos una generalización de la teoría de Sturm Liouville basada en desigualdades integrales, que nos permitirá presentar una demostración de la desigualdad de Lyapunov. Con esta obtendremos cotas inferiores óptimas para autovalores. Daremos otras demostraciones diferentes de esta desigualdad y distintas aplicaciones. Para el problema con condición de borde Neumann y pesos indefinidos demostraremos que los autovalores variacionales son todos. También obtendremos curvas que contienen el espectro de Fučik, y daremos otra demostración de que para esta condición de borde las líneas triviales del espectro son aisladas, y que la segunda curva presenta una separación de los ejes en infinito. Combinando métodos variacionales con la teoría de Sturm Liouville no lineal, obtendremos el desarrollo asintótico de la función N(λ) definida como N(λ) = #{k : λk ≤ λ}. Calcularemos el primer término en el desarrollo de N(λ) y daremos una estimación del segundo término. Aquí, Ω puede ser una unión infinita de intervalos disjuntos, en tal caso, ∂Ω tendrá una dimensión interior de Minkowski d ∈ [0, 1), y el desarrollo será: N(λ) = λ^(1/p)/ 2πp ∫Ω r^(1/p)(t) dt + O(λ^d/p), donde πp = 2(p − 1)^1/p π/p/sin(π/p) . De este desarrollo obtendremos la siguiente fórmula asintótica para el k-ésimo autovalor, λk ∼ (πpk/ ∫Ω r^(1/p)(t) dt)^p. Extenderemos los resultados obtenidos para la función N(λ) para pesos que cambian de signo y a distintos problemas singulares, tales como el comportamiento asintótico de los autovalores radiales en R N de la ecuación −∆pu = −div(|∇u|^p− 2 ∇u) = (λ − q(|x|)|u|^p−2 u, y del problema radial en una bola.
[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]. This work is concerned with eigenvalue bounds and the asymptotic behaviour of the eigenvalues {λk}k of the weighted p-laplacian equation, −(|u’(t)|^p−2 u’(t))’ = λr(t)|u(t)| p−2u(t), with different boundary conditions (Dirichlet, Neumann, mixed), where Ω ⊂ R is an open set, 1 < p < +∞, λ is the eigenvalue parameter, and r(t) is a real function. We develop a non linear Sturm-Liouville theory with integral inequalities on the weights instead of the classical pointwise conditions. We obtain from it a Lyapunov inequality, which in turns gives optimal lower bounds for the eigenvalues {λk}k. For the Neumann eigenvalue problem with indefinite weights, we prove that the variational eigenvalues exhaust the spectrum. Also, we consider the Fučik spectrum with the Neumann boundary condition, and we will show different proofs of the isolation of the trivial lines and the existence of a gap at infinity. By combining variational methods and the non linear Sturm Liouville theory, we obtain the asymptotic expansion of N(λ), the spectral counting function defined as N(λ) = #{k : λk ≤ λ}. We compute the first term and we give an estimation of the error term. Here, Ω = ∪j∈NIj , and ∂Ω has an associated fractal dimension d ∈ [0, 1). We show that the growth of the error term depends on the interior Minkowski dimension d of ∂Ω: N(λ) = λ^(1/p)/ 2πp ∫Ω r^(1/p)(t) dt + O(λ^d/p), where πp = 2(p − 1)^1/p ∫1 0 ds/(1 − s^p)^1/p . As a corollary, we obtain the asymptotic behavior of eigenvalues: λk ∼ (πpk/ ∫Ω r^(1/p)(t) dt)^p. We extend the previous results to general weights r(t) which are allowed to change signs, and without continuity hypotheses. Also, we consider singular eigenvalue problems related to the asymptotic distribution of radial eigenvalues.
Fil: Pinasco, Juan Pablo. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.