Métodos simbólicos para sistemas de ecuaciones e inecuaciones pfaffianas sobre R

• Autores: Barbagallo, María Laura
• Año de publicación: 2019
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Jerónimo, Gabriela Tali; Sabia, Juan
• Materia: FUNCIONES PFAFFIANAS; SECUENCIAS DE STURM; PROBLEMA DE DECISION; COMPLEJIDAD; STURM SEQUENCES; PFAFFIAN FUNCTIONS; DECISION PROBLEM; COMPLEXITY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis desarrollamos herramientas algebraicas y métodos algorítmicos simbólicos para problemas que involucran funciones pfaffianas de orden 1 en una variable, es decir, funciones del tipo f(x) = F(x, φ(x)), con F ∈ Z[X, Y ], donde φ es una función fija que es solución de una ecuación diferencial de la forma φ'(x) = Φ(x, φ(x)), con Φ ∈ Z[X, Y]. En una primera instancia, presentamos un nuevo procedimiento simbólico para contar la cantidad exacta de ceros de estas funciones en intervalos. Este procedimiento está basado en la construcción de secuencias de Sturm para este tipo de funciones y requiere, como es usual en la bibliografía, de un oráculo para la determinación del signo de estas funciones en números reales algebraicos. Abordamos también el problema de decisión para fórmulas que involucran funciones del mismo tipo construidas a partir de una función φ fija. En este contexto, introducimos una noción de secuencia de Sturm generalizada y presentamos un nuevo procedimiento simbólico basado en la construcción de estas secuencias que resuelve el problema de decisión con complejidad calculable, asumiendo nuevamente la existencia de un oráculo para la determinación de signos. Para la clase particular de los E-polinomios, es decir, funciones con φ(x) = e h(x) , h ∈ Z[X], desarrollamos algoritmos que resuelven los problemas anteriores sin necesidad de recurrir a oráculos y estimamos explícitamente sus complejidades. A continuación, aplicamos el algoritmo de decisión diseñado para resolver un problema de decisión similar en el caso de E-polinomios multivariados. Además, en el contexto de una variable, damos una cota superior explícita para el valor absoluto de los ceros reales de un E-polinomio. Finalmente, introducimos la noción de codificación de Thom para ceros de E-polinomios y describimos un algoritmo para su construcción.
In this thesis we develop algebraic tools and algorithmic symbolic methods to deal with problems involving univariate Pfaffian functions of order 1, that is, functions of the type f(x) = F(x, φ(x)), with F ∈ Z[X, Y ], where φ is a fixed univariate function satisfying a differential equation φ'(x) = Φ(x, φ(x)), for Φ ∈ Z[X, Y ]. First, we present a new symbolic procedure to count the exact number of zeros of a function of this type in a real interval. This procedure is based on the construction of Sturm sequences for functions of this class and relies, as it is usual in the literature, on an oracle for determining the signs of these functions in real algebraic numbers. We also address the decision problem for formulas involving functions of the same kind constructed from a fixed function φ. In this setting, we introduce the concept of a generalized Sturm sequence and we present a new symbolic procedure, based on an explicit construction of these sequences, that solves the decision problem with a computable complexity also assuming the existence of an oracle for sign determination. For the particular class of E-polynomials, namely, functions with φ(x) = e h(x) , h ∈ Z[x], we design oracle-free effective algorithms that solve the previous problems and we compute explicit estimates for their complexities. We apply the decision algorithm developed to solve a similar decision problem for E-polynomials in the multivariate setting. In addition, in the univariate context, we give an explicit upper bound for the absolute value of the real zeros of an E-polynomial. Finally, we introduce a notion of Thom encoding for zeros of an E-polynomial and describe an algorithm for their computation.
Fil: Barbagallo, María Laura. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.