Métodos simbólicos para sistemas de ecuaciones e inecuaciones pfaffianas sobre R - Barbagallo, María Laura (2019)
En esta tesis desarrollamos herramientas algebraicas y métodos algorítmicos simbólicos para problemas que involucran funciones pfaffianas de orden 1 en una variable, es decir, funciones del tipo f(x) = F(x, φ(x)), con F ∈ Z[X, Y ], donde φ es una función fija que es solución de una ecuación diferencial de la forma φ'(x) = Φ(x, φ(x)), con Φ ∈ Z[X, Y]. En una primera instancia, presentamos un nuevo procedimiento simbólico para contar la cantidad exacta de ceros de estas funciones en intervalos. Este procedimiento está basado en la construcción de secuencias de Sturm para este tipo de funciones y requiere, como es usual en la bibliografía, de un oráculo para la determinación del signo de estas funciones en números reales algebraicos. Abordamos también el problema de decisión para fórmulas que involucran funciones del mismo tipo construidas a partir de una función φ fija. En este contexto, introducimos una noción de secuencia de Sturm generalizada y presentamos un nuevo procedimiento simbólico basado en la construcción de estas secuencias que resuelve el problema de decisión con complejidad calculable, asumiendo nuevamente la existencia de un oráculo para la determinación de signos. Para la clase particular de los E-polinomios, es decir, funciones con φ(x) = e h(x) , h ∈ Z[X], desarrollamos algoritmos que resuelven los problemas anteriores sin necesidad de recurrir a oráculos y estimamos explícitamente sus complejidades. A continuación, aplicamos el algoritmo de decisión diseñado para resolver un problema de decisión similar en el caso de E-polinomios multivariados. Además, en el contexto de una variable, damos una cota superior explícita para el valor absoluto de los ceros reales de un E-polinomio. Finalmente, introducimos la noción de codificación de Thom para ceros de E-polinomios y describimos un algoritmo para su construcción.