Medidas de Gibbs sobre permutaciones de procesos puntuales de baja densidad

• Autores: Frevenza Maestrone, Nicolás Federico
• Año de publicación: 2017
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Armendáriz, María Inés; Ferrari, Pablo Augusto
• Materia: MEDIDA DE GIBBS; PERMUTACIONES; CICLOS FINITOS; PROCESOS PUNTUALES DE POISSON; GIBBS MEASURES; PERMUTATIONS; FINITE CYCLES; POISSON POINT PROCESS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis se estudia un modelo probabilístico sobre el espacio de permutaciones de un conjunto discreto e infinito de puntos siguiendo el enfoque de la mecánica estadística. Concretamente, una permutación σ es sorteada de forma proporcional al pesoexp{−α Ʃ V (σ(x) − x)}, (1)donde α > 0 representa la temperatura y V es un potencial no negativo y continuo. Desde el punto de vista físico el caso más relevante es V (x) = ǁxǁ2, ya que está relacionado con una representación del fenómeno de la condensación de Bose-Einstein introducida por Feynman en los 50’. Los pesos (1) definen una medida de probabilidad cuando el conjunto de puntos es finito, pero obtener una construcción consistente cuando el conjunto de puntos es infinito no es trivial y requiere de hipótesis adecuadas. El primer problema de este modelo, es encontrar condiciones bajo las qué se puede obtener una medida de probabilidad cuando el conjunto de puntos es infinito. Establecida la existencia, interesa saber si es única y cómo es la estructura de ciclos de una permutación típica bajo esta medida. Las preguntas anteriores se analizan en el régimen de alta temperatura cuando el conjunto de puntos viene dado por un proceso puntual de Poisson en Zd con intensidad ρ ∈ (0, 1/2),y el potencial V verifica algunas condiciones de regularidad. En particular, se prueba que si α es suficientemente grande, para casi toda realización del proceso puntual, existe y es única la medida de Gibbs asociada a las distribuciones finito dimensionales de peso (1). A su vez se demuestra que bajo la medida de Gibbs anterior, una permutación típica contiene solamente ciclos finitos. Los resultados anteriores se extienden al contexto continuo, es decir, cuando el conjunto de puntos es una realización de un proceso puntual de Rd con baja densidad.
In this thesis we study a model of spatial random permutations over a discrete set ofpoints. Formally, a permutation σ is sampled proportionally toexp{−α Ʃx V (σ(x) − x)}, (2)where α > 0 is the temperature and V is a non negative and continuous potential. Themost relevant case for physics is when V (x) = ǁ x ǁ 2, since it is related to Bose-Einsteincondensation through a representation introduced by Feynman in the ’50s. In the contextof statistical mechanics, the weights in (2) define a probability when the set of points isfinite, but the construction associated to an infinite set is not trivial and may fail withoutappropriate hypotheses. The first problem is to establish conditions for the existenceof such a measure at infinite volume when the set of points is infinite. Once existencederived, we are interested in establishing it uniqueness and the cycle structure of a typicalpermutation. The previous questions are analyzed in the large temperature regime, when the set ofpoints is given by a Poisson point process on Zd with intensity ρ ∈ (0, 1/2), and thepotential verifies some regularity conditions. In particular, we prove that if α is largeenough, for almost every realization of the point process, there exists a unique Gibbsmeasure that concentrates on finite cycle permutations. We then extend these results to the continuous setting, when the set of points is given bya Poisson point process in Rd with sufficient low intensity.
Fil: Frevenza Maestrone, Nicolás Federico. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.