Un enfoque algorítmico sobre algunas variantes del problema de coloreo de grafos y el problema de conjunto independiente máximo

• Autores: Koch, Ivo Valerio
• Año de publicación: 2014
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Bonomo, Flavia; Valencia-Pabon, Mario
• Materia: K, I-COLOREO; GRAFOS CACTUS; B-COLOREO; GRAFOS P4-TIDY; B-COLOREO DE ARISTAS; PRODUCTO DIRECTO DE GRAFOS; CONJUNTO INDEPENDIENTE MAXIMO; PLANOS DE CORTE; ALGORITMOS BRANCH AND CUT; K, I-COLORING; CACTI; B-COLORING; P4-TIDY GRAPHS; B-EDGE-COLORING; DIRECT PRODUCT OF GRAPHS; MAXIMUM STABLE SET; CUTTING PLANE GENERATION; BRANCH AND CUT ALGORITHMS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta Tesis estudiamos variantes del problema de coloreo de grafos para varias familiasde grafos, y analizamos el problema del conjunto independiente máximo bajo unenfoque de generación de planos de corte. En el problema del k; i-coloreo, asignamos conjuntos de colores de cardinalidad k a losvértices de un grafo G, de manera que los conjuntos que correspondan a vértices adyacentesen G intersequen en no más de i elementos y la cantidad total de colores usadossea mínima. Esta cantidad mínima recibe el nombre de número k; i-cromático y es denotadapor Xik(G). Este parámetro, que generaliza el número cromático X01(G), es tandifícil de trabajar que su valor es desconocido aún para grafos completos. Desarrollamosun algoritmo de orden lineal para el cómputo de Xik para ciclos y generalizamos esteresultado a grafos cactus. Adicionalmente, estudiamos la relación entre este problemaen grafos completos y un problema abierto clásico de teoría de códigos. Un b-coloreo de un grafo es un coloreo tal que cada clase color admite un vérticeadyacente a por lo menos un vértice perteneciente a cada una de las demás clases color. El número b-cromático de un grafo G, denotado como Xb(G), es el máximo número ttal que G admite un b-coloreo con t colores. Describimos un algoritmo polinomial paracomputar el número b-cromático de la clase de los grafos P4-tidy y estudiamos paraesta clase dos propiedades conocidas: la b-continuidad y la b-monotonía. Estudiamos además la versión sobre aristas del b-coloreo y su índice b-cromático asociado. Presentamos cotas para el índice b-cromático del producto directo de grafosy damos resultados generales para varios productos directos de grafos regulares. Introducimostambién un modelo sencillo de programación lineal para el b-coloreo dearistas, que utilizamos para calcular resultados exactos para el producto directo dealgunas clases de grafos. Finalmente, proponemos un nuevo método de generación de planos de corte para elproblema del conjunto independiente máximo. El algoritmo genera desigualdades derango y otras desigualdades válidas, y utiliza un procedimiento de lifting basado enla resolución del conjunto independiente máximo con pesos sobre un grafo de menortamaño.
In this Thesis we study variants of the graph coloring problem for several families ofgraphs, and we address the stable set problem under a new cutting plane generationapproach. In the k; i-coloring problem, we assign sets of colors of size k to the vertices of a graph G, so that the sets which belong to adjacent vertices of G intersect in no more than ielements and the total number of colors used is minimum. This minimum number ofcolors is called k; i-chromatic number and is denoted by Xik(G). This parameter, whichgeneralizes the chromatic number X01 (G), is so difficult to deal with, that its value isunknown even for complete graphs. We develop a linear time algorithm to compute Xik for cycles and generalize the result to cacti. Further, we study the relation betweenthis problem on complete graphs and a classic open problem in coding theory. A b-coloring of a graph is a coloring such that every color class admits a vertex adjacentto at least one vertex receiving each of the colors not assigned to it. The b-chromaticnumber of a graph G, denoted by Xb(G), is the maximum number t such that G admitsa b-coloring with t colors. We describe a polynomial time algorithm to compute theb-chromatic number for the class of P4-tidy graphs and study this class for two knownproperties: the b-continuity and the b-monotonicity. We study also the edge version of the b-coloring problem and its associated b-chromaticindex for the direct product of graphs and provide general results for many directproducts of regular graphs. We introduce a simple linear programming model for theb-edge coloring problem, which we use for computing exact results for the direct productof some special graph classes. Finally, we propose a general procedure for generating cuts for the maximum stableset problem. The algorithm generates both rank and non-rank valid inequalities, andemploys a lifting method based on the resolution of a maximum weighted stable setproblem on a smaller graph.
Fil: Koch, Ivo Valerio. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.