Projective geometry of the Poincaré disk of a C*-algebra

• Autores: Andruchow, Esteban; Corach, Gustavo; Recht, Lázaro
• Año de publicación: 2023
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: artículo
• Fuente: Journal of Operator Theory. 2023; 89(1): 155-182; http://www.mathjournals.org/jot/2023-089-001/
• Materia: Projective line; Poincaré disk; C*-algebra
• Institución: Universidad Nacional de General Sarmiento

Fil: Andruchow, Esteban. Universidad Nacional de General Sarmiento. Instituto de Ciencias; Argentina.
Fil: Andruchow, Esteban. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Instituto Argentino de Matemática "Alberto P. Calderón"; Argentina.
Fil: Corach, Gustavo. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Instituto Argentino de Matemática "Alberto P. Calderón"; Argentina.
Fil: Recht, Lázaro. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Instituto Argentino de Matemática "Alberto P. Calderón"; Argentina.
We study the Poincar´e disk $d={aina: |a|<1}$ of a C$^*$-algebra $a$ from a projective point of view: $d$ is regarded as an open subset of the projective line $pa$, the space of complemented rank one submodules of $a^2$. We introduce the concept of cross ratio of four points in $pa$. Our main result establishes the relation between the exponential map $Exp_{z_0}(z_1)$ of $d$ ($z_0,z_1ind$) and the cross ratio of the four-tuple $$delta(-infty), delta(0)=z_0, delta(1)=z_1 , delta(+infty),$$ where $delta$ is the unique geodesic of $d$ joining $z_0$ and $z_1$ at times $t=0$ and $t=1$, respectively. Here $delta(-infty)=lim_{to-infty}delta(t)$ and $delta(+infty)=lim_{to+infty}delta(t)$, the limits are considered in the strong operator topology, and may take values in the universal algebra $a^{**}$.