Soluciones conjuntistas a la ecuación de Yang-Baxter, invariantes de nudos y cohomología

• Autores: García Galofre, Juliana
• Año de publicación: 2016
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Farinati, Marco Andrés
• Materia: INVARIANTE DE KNOT-LINKS; COHOMOLOGIA DE YANG-BAXTER; QUANDLE; BIQUANDLE; RACK; BIALGEBRA; ALGEBRA DE HOPF; ALGEBRA TRENZADA; KNOT-LINKS INVARIANTS; YANG-BAXTER COHOMOLOGY; QUANDLE; BIQUANDLE; RACK; BIALGEBRA; HOPF ALGEBRA; BRAIDED ALGEBRA
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En el Capítulo 2 definimos una biálgebra B cuya homología y cohomología coincidencon las de biquandle definidas en [CJKS] y otras generalizaciones de cohomologíadel caso quandle o rack (por ejemplo la definida en [CES2]). La estructura algebraica encontrada permite demostrar con transparencia la existencia de un producto asociativo en la cohomología de biquandles. Este producto era conocido para el caso rack (con una demostración topológica, por lo que nuestra construcción provee de una prueba completamente algebraica e independiente) pero era desconocido en el caso general de biquandles. También esta estructura algebraica descubierta permite mostrar la existencia de morfismos de comparación con cohomología de Hochschild que, eventualmente, podrán proveer de ejemplos de cálculo de cociclos, que (en grado dos para nudos, y en grado tres para superficies) pueden ser utilizados para calcular invariantes. Más aún, explicitamos un morfismo de comparación que se factoriza por un complejo que, como bimódulo, es la extensión de escalares de un álgebra de Nichols. En [AG] se define un 2-cociclo de quandle como una aplicación β : X × X → H donde (X,★) es un quandle y H es un grupo (no necesariamente abeliano) tal queβ(x1,x2)β(x1★x2,x3) = β(x1,x3)β(x1★x3,x2★x3) y β(x,x) = 1. En el Capítulo 3 generalizamos esa definición para biquandles (X,σ) adaptando lasecuaciones existentes y agregando una equación más: Una función f : X × X → H es un 2-cociclo trenzado no conmutativo si • f(x1,x2) f(σ2(x1,x2),x3) = f(x1,σ1(x2,x3)) f(σ2(x1,σ1(x2,x3)),σ2(x2,x3)), y • f(σ1(x1,x2),σ1(σ2(x1,x2),x3))= f(x2,x3) ∀x1,x2,x3 ∈ X. Definimos un grupo, Unc, y un 2-cociclo no conmutativo universal, π, tales que paratodo grupo H y f : X × X → H 2-cociclo no conmutativo, existe un único morfismo degrupos ḟ : Unc → H tal que f = ḟ ◦ π. Mostramos que Unc es funtorial. Definimos unaasignación de pesos a cada cruce en un nudo/link y, probando que cierto producto es invariante por movimientos de Reidemeister obtuvimos un nuevo invariante de nudos/links que generaliza el invariante obtenido en [CEGS]. Para cada grupo Unc definimos cocientes Uᵞnc y mostramos que estos, si bien son engeneral mucho más chicos que Unc, guardan la misma información que el primero conrespecto al cálculo de invariantes. Hemos calculado Unc y Uᵞnc para ciertos ejemplos de biquandles pequeños. Para poder trabajar con ejemplos de cardinal mayor a tres utilizamos GAP (System for Computational Discrete Algebra). Esto último nos permitió colorear links con biquandles (no provenientes de quanldles) de mayor cardinal y así distinguir nudos-links concretos (e.g.: el trebol de su imagen especular, la no trivialidad del link Whitehead, etc). Es decir, encontramos ejemplos que muestran que nuestro invariante generaliza estrictamente el definido en [CEGS]. Estos ejemplos ya se dan con biquandles de tamaño muy chico (cardinal 3) y permiten distinguir sensiblemente nudos distintos (e.g.: link Borromeo de tres "no nudos" separados , link de Whitehead de dos "no nudos", trebol de su imagen especular). Palabras clave: invariante de knot-links, cohomología de Yang-Baxter. Quandle, biquandle, rack, biálgebra, álgebra de Hopf, algebra trenzada.
In Chapter 2, we define a bialgebra B such that its homology and cohomology arethe same as the biquandle ones defined in [CJKS] and other genalizations of cohomology of the quandle-rack case (for example defined in [CES2]).This algebraic structure enable us to show an associative product in biquandle cohomology. This product was known for the rack case (with topological proof) but unknown in biquandle case. This algebraic structure also allows to define comparison morphisms with other cohomology theories that could eventually provide cocycle examples (of degree two for knots and degree three for surfaces) for computing invariants. Furthermore, we give an explicit comparison morphism that factorizes by a complex that, as bimodule, is the scalar extension of a Nichols algebra. In [AG] a quandle 2-cocycle is defined as a map β : X × X → H where (X,★) is aquandle and H is a group (not necessarily abelian) such thatβ(x1,x2)β(x1★x2,x3) = β(x1,x3)β(x1★x3,x2★x3) and β(x,x) = 1. In Chapter 3 we generalized this definition to biquandles (X,σ): A function f : X × X → H is a non commutative braided 2-cocycle if verifies both • f(x1,x2) f(σ2(x1,x2),x3) = f(x1,σ1(x2,x3)) f(σ2(x1,σ1(x2,x3)),σ2(x2,x3)), and • f(σ1(x1,x2),σ1(σ2(x1,x2),x3))= f(x2,x3) ∀x1,x2,x3 ∈ X. We define a group, Unc and a universal non commutative 2-cocycle π such that forevery group H and f : X × X → H a non commutative 2-cocycle, exist a unique groupmorphism ḟ : Unc H such that f = ḟ ◦ π. We show that Unc is functorial. Define anassignment of a weight to each crossing in a knot-link. A certain product of these weights is invariant under Reidemester moves, then a new invariant for knot-links is obtained generalising the one obtained in [CEGS]. For each group Unc we defined quotients Uᵞnc which keep the same data when computing the invariant and have smaller cardinal. We calculated Unc and Uᵞnc for certain biquandles of small cardinality. To be able to work with more examples we worked with GAP (System for Computational Discrete Algebra). Creating programs we were able to color links with bigger biquandles (not coming fromquandles) and found examples that show our invariant generalizes the one defined in [CEGS]. This examples are achived using biquandles of cardinality three and distinguishknots-links (e.g.: Borromean link from three separeted unknots, Whitehead link from twounknots, trefoil knot and its mirror). .
Fil: García Galofre, Juliana. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.