Modelos no-lineales para la teoría de muestreo

• Autores: Anastasio, Magalí
• Año de publicación: 2011
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cabrelli, Carlos Alberto
• Materia: MUESTREO; ESPACIOS INVARIANTES POR TRASLACIONES ENTERAS; MARCOS; BASES DE RIESZ; OPERADOR GRAMIANO; FIBRAS; REDUCCION DIMENSIONAL; DESIGUALDADES DE CONCENTRACION; ANGULOS ENTRE SUBESPACIOS; SAMPLING; SHIFT-INVARIANT SPACES; FRAMES; RIESZ BASES; GRAMIAN OPERATOR; FIBERS; DIMENSIONALITY REDUCTION; CONCENTRATION INEQUALITIES; ANGLE BETWEEN SUBSPACES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Un nuevo paradigma en la teoría de muestreo fue desarrollado recientemente. El clásico modelo lineal es reemplazado por un modelo no-lineal pero estructurado, que consiste en una unión de subespacios. Este es el enfoque natural para la nueva teoría de muestreo comprimido, señales con representaciones ralas y con tasa finita de innovación. En esta tesis estudiamos algunos problemas relacionados con el proceso de muestreo en uniones de subespacios. Primero centramos nuestra atención en el problema de hallar una unión de subespacios que mejor aproxime a un conjunto finito de vectores. Utilizamos técnicas de reducción dimensional para disminuir los costos de algoritmos diseñados para hallar uniones de subespacios óptimos. Luego estudiamos el problema de muestreo para señales que pertenecen a una unión de espacios invariantes por traslaciones enteras. Mostramos que las condiciones para la inyectividad y estabilidad del operador de muestreo son válidas en el caso general de espacios invariantes por traslaciones enteras generados por marcos de traslaciones en lugar de bases ortonormales. A raíz del estudio de los problemas mencionados anteriormente, surgen dos cuestiones que están relacionadas con la estructura de los espacios invariantes por traslaciones enteras. La primera es si la suma de dos de estos espacios es un subespacio cerrado. Usando el ángulo de Friedrichs entre subespacios, obtenemos condiciones necesarias y suficientes para que la suma de dos espacios invariantes por traslaciones enteras sea cerrada. En segundo lugar se estudian propiedades de invariancia de espacios invariantes por traslaciones enteras en varias variables. Presentamos condiciones necesarias y suficientes como para que un espacio invariante por traslaciones enteras sea invariante por un subgrupo cerrado de Rd . Además probamos la existencia de espacios invariantes por traslaciones enteras que son exactamente invariantes para un subgrupo cerrado dado. Como aplicación, relacionamos la extra invariancia con el tamaño de los soportes de la transformada de Fourier de los generadores de los espacios.
A new paradigm in sampling theory has been developed recently. The classical linear model is replaced by a non-linear, but structured model consisting of a union of subspaces. This is the natural approach for the new theory of compressed sensing, representation of sparse signals and signals with finite rate of innovation. In this thesis we study some problems concerning the sampling process in a union of subspaces. We first focus our attention in the problem of finding a union of subspaces that best explains a finite data of vectors. We use techniques of dimension reduction to avoid the expensiveness of algorithms which were developed to find optimal union of subspaces. We then study the sampling problem for signals which belong to a union of shift- invariant spaces. We show that, the one to one and stability conditions for the sampling operator, are valid for the general case in which the subspaces are describe in terms of frame generators instead of orthonormal bases. As a result of the study of the problems mentioned above, two questions concerning the structure of shift-invariant spaces arise. The first one is if the sum of two shift-invariant spaces is a closed subspace. Using the Friedrichs angle between subspaces, we obtain necessary and sufficient conditions for the closedness of the sum of two shift-invariant spaces. The second problem involves the study of invariance properties of shift-invariant spaces in higher dimensions. We state and prove several necessary and sufficient conditions for a shift-invariant space to be invariant under a given closed subgroup of Rd , and prove the existence of shift-invariant spaces that are exactly invariant for each given subgroup. As an application we relate the extra invariance to the size of support of the Fourier transform of the generators of the shift-invariant space.
Fil: Anastasio, Magalí. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.