Caracterización de ciertos marcos en espacios de Hilbert vía subespacios invariantes por dos operadores shift y ciclicidad en espacios tipo Dirichlet

• Autores: Aguilera Aguilera, Alejandra Patricia
• Año de publicación: 2023
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cabrelli, Carlos Alberto; Paternostro, Victoria
• Materia: ESPACIO DE HARDY; MARCOS; SUBESPACIO INVARIANTES; OPERADOR SHIFT; FUNCIONES CICLICAS; POLINOMIOS APROXIMANTES OPTIMOS; HARDY SPACE; FRAMES; INVARIANT SUBSPACES; SHIFT OPERATOR; CYCLIC FUNCTIONS; OPTIMAL POLYNOMIAL APPROXIMANT
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis se estudia el problema de encontrar condiciones sobre dos operadores lineales y acotados T y L que conmutan entre sí y actúan en un espacio de Hilbert separable H, y sobre un conjunto de vectores finito o numerable {vi}ieI cH para que el sistema de iteraciones {TkLjvi} forme un marco de H. Las condiciones obtenidas se basan en establecer una correspondencia vía un isomorfismo entre cada marco de la forma anterior y un marco “canónico” que resulta ser un marco de Parseval de algún subespacio cerrado N de L2 (T, K), donde K es un espacio de Hardy vectorial. Motivados por lo anterior, el segundo problema que se estudia en este trabajo es buscar una descripción explícita de los subespacios de L2 (T, K) que están generados por marcos canónicos. Esto se enmarca en el problema de caracterizar los subespacios invariantes por operadores lineales y acotados actuando en espacios de Hilbert. Para ello se estudian resultados clásicos de Beurling, Helson y Halmos, sobre los subespacios del espacio de Hardy escalar H2, el espacio L2 (T) y el espacio de Hardy vectorial H2 (T, K) que son invariantes por los operadores shift unilateral, shift bilateral y el shift unilateral con multiplicidad, respectivamente. Por último, consideramos una familia de espacios de Hilbert de funciones analíticas con núcleo reproductivo que incluyen al espacio de Hardy escalar H2 y damos respuesta a la pregunta de si la función límite de una sucesión convergente de funciones cíclicas (no cíclicas) es cíclica (no cíclica). En particular, demostramos que el conjunto de las funciones outer no es cerrado en la topología de la norma de H2. Por otro lado, damos una relación cuantitativa entre los polinomios aproximantes óptimos de una sucesión de funciones y los polinomios aproximantes óptimos del límite de dicha sucesión en el caso que ésta sea convergente.
In this thesis we study the problem of finding conditions on two linear and bounded operators T and L that commute, acting on a separable Hilbert space H and on an at most countable set of vectors {vi} in order that the system of iterations {TkLjvi} forms a frame of H. This characterization is based on a correspondence via an isomorphism between the mentioned frame and a canonical frame which is a Parseval frame of a closed subspace N of L2 (T, K), where K is a vectorial Hardy space. Motivated by the previous problem, the second problem that we study in this work is to give an explicit description of the subspaces of L2 (T, K) that are generated by canonical frames. This is related with the problem of characterizing the invariant subspaces under a linear bounded operator acting on a Hilbert space. To do this it was necessary revisited classical results due to Beurling, Helson and Halmos about the subspaces of the scalar Hardy space H2, the space L2 (T) and the vectorial Hardy space H2 (T, K) that are invariant under the unilateral shift, the bilateral shift and the bilateral shift with multiplicity, respectively. Finally, we consider a family of Hilbert spaces of analytic functions with reproducing kernel that includes the scalar Hardy space H2 and we answer the question whether the limit of a sequence of cyclic (non-cyclic) functions must be cyclic (non-cyclic). In particular, we prove that the set of outer functions in not closed in the topology of the H2 norm. Besides, we give a quantitative relation between the optimal polynomials approximant of a sequence of functions and the optimal polynomial approximant of the limit of that sequence, in the case it converges.
Fil: Aguilera Aguilera, Alejandra Patricia. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.