Modelos no-lineales para la teoría de muestreo - Anastasio, Magalí (2011)
Un nuevo paradigma en la teoría de muestreo fue desarrollado recientemente. El clásico modelo lineal es reemplazado por un modelo no-lineal pero estructurado, que consiste en una unión de subespacios. Este es el enfoque natural para la nueva teoría de muestreo comprimido, señales con representaciones ralas y con tasa finita de innovación. En esta tesis estudiamos algunos problemas relacionados con el proceso de muestreo en uniones de subespacios. Primero centramos nuestra atención en el problema de hallar una unión de subespacios que mejor aproxime a un conjunto finito de vectores. Utilizamos técnicas de reducción dimensional para disminuir los costos de algoritmos diseñados para hallar uniones de subespacios óptimos. Luego estudiamos el problema de muestreo para señales que pertenecen a una unión de espacios invariantes por traslaciones enteras. Mostramos que las condiciones para la inyectividad y estabilidad del operador de muestreo son válidas en el caso general de espacios invariantes por traslaciones enteras generados por marcos de traslaciones en lugar de bases ortonormales. A raíz del estudio de los problemas mencionados anteriormente, surgen dos cuestiones que están relacionadas con la estructura de los espacios invariantes por traslaciones enteras. La primera es si la suma de dos de estos espacios es un subespacio cerrado. Usando el ángulo de Friedrichs entre subespacios, obtenemos condiciones necesarias y suficientes para que la suma de dos espacios invariantes por traslaciones enteras sea cerrada. En segundo lugar se estudian propiedades de invariancia de espacios invariantes por traslaciones enteras en varias variables. Presentamos condiciones necesarias y suficientes como para que un espacio invariante por traslaciones enteras sea invariante por un subgrupo cerrado de Rd . Además probamos la existencia de espacios invariantes por traslaciones enteras que son exactamente invariantes para un subgrupo cerrado dado. Como aplicación, relacionamos la extra invariancia con el tamaño de los soportes de la transformada de Fourier de los generadores de los espacios.