Invariante diagonal y cableado de soluciones a la ecuación de Yang–Baxter

• Autores: Ramírez, Santiago Agustín
• Año de publicación: 2025
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Vendramin, Claudio Leandro
• Materia: ECUACION DE YANG–BAXTER; SOLUCIONES CONJUNTISTAS; BRACES; INDESCOMPONIBILIDAD; CABLEADO; YANG–BAXTER EQUATION; SET-THEORETICAL SOLUTIONS; BRACES; INDECOMPOSABILITY; CABLING
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

El problema general de clasificación o construcción de las soluciones conjuntistas a la ecuación de Yang–Baxter es en cierto sentido inaccesible debido a la cantidad de soluciones de la misma. Por esta razón resulta natural restringirse al estudio de ciertas clases de soluciones e intentar reducir el caso general al de estas clases de alguna manera. Una posibilidad es considerar las soluciones denominadas indescomponibles, aquellas que no se pueden escribir como una unión de dos soluciones más pequeñas. En esta tesis vamos a concentrarnos entonces en el estudio de las soluciones indescomponibles a la ecuación conjuntista de Yang–Baxter. En una primera parte de esta tesis vamos a obtener resultados que garanticen la descomponibilidad o indescomponiblidad de una solución en términos de su invariante diagonal. Este invariante ya había sido definidio previamente en la literatura pero su relación con la descomponibilidad de las soluciones no había sido estudiada anteriormente. Luego de obtener resultados en esta dirección mediante métodos elementales introducimos la construcción del cableado de soluciones, que permite obtener a partir de una solución conjuntista nuevas soluciones del mismo tamaño. Luego de entender como se vinculan la descomponibilidad y el invariante diagonal de la solución original con los de las soluciones cableadas usamos esta nueva herramienta para extender los resultados anteriores obtenidos. La introducción de esta nueva herramienta nos permite también plantear nuevas preguntas respecto a la misma, como es el problema de decidir cuándo dos soluciones pueden obtenerse una de la otra vía cableado. En una segunda parte estudiamos el problema de construcción de todas las soluciones indescomponibles que tengan un grupo de estructura dado. Usando una construcción de Bachiller, Cedó y Jespers, junto con la clasificación de braces de tamaño pq y p²q de Acri y Bonatto, podemos dar una descripción de todas las soluciones indescomponibles con ciertos grupos de permutaciones. Para poder aplicar estos resultados debemos previamente calcular todos los grupos de automorfismo y entender las órbitas de la acción λ de todos los braces involucrados. Además de la descripción de las soluciones indescomponibles podemos entender como son los cableados de las soluciones construídas mediante el método de Bachiller, Cedó y Jespers, lo que nos permite entender cuales de las soluciones que construímos son equivalentes vía cableado entre ellas.
The general problem of classification or construction of all set-theoretical solutions to the Yang–Baxter equation is in a way intractable due to the number of solutions that exist. For this reason it is natural to restrict oneself to the study of certain clases of solutions and attempt to reduce in some way the general case to understanding these classes. One of these posibilities is to consider the so-called indecomposable solutions, those that cannot be written as the disjoint union of two smaller solutions. In this thesis we are going to focus on the study of these indecomposable solutions to the Yang–Baxter equation. In the first part of the thesis we will obtain results guaranteeing the decomposability or indecomposability of a solution in terms of its diagonal invariant. Although this invariant had been previously defined in the literature its connection to the indecomposability of the solutions had not been previously studied. After obtaining results in this direction by elementary means we will introduce the cabling of solutions, a novel construction allowing to obtain from a solution to the set-theoretical Yang–Baxter equation new solutions of the same size. After understanding how the indecomposability and diagonal invariant of the original solution relate to those of its cabled solutions we are able to use this new tool to extend the results obtained previously. We also pose some questions about this new construction, like the problem of deciding when two solutions can be obtained from one another via cabling. In the second part of the thesis we study the problem of constructing all indecomposable solution with a given structure group. Using a construction of Bachiller, Ced ́o and Jespers, and the classification of braces of sizes pq and p2q of Acri and Bonatto, we are able to describe all indecomposable solutions with certain permutation groups. In order to be able to use this results we must previously compute all automorphism groups and the orbits of the λ action of all the braces involved. Besides obtaining a description of the indecomposable solutions through the method of Bachiller, Ced ́o and Jespers, we are also able to understand the cabling of these solutions in terms of this description, allowing us to determine precisely when two of these solutions are equivalnt via cabling.
Fil: Ramírez, Santiago Agustín. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.