Certificados polinomiales de no negatividad sobre conjuntos semialgebraicos cilíndricos

• Autores: Escorcielo, Paula Micaela
• Año de publicación: 2020
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Perrucci, Daniel
• Materia: CERTIFICADOS DE NO NEGATIVIDAD; SUMAS DE CUADRADOS; POSITIVSTELLENSATZ; COTAS DE GRADO; NON-NEGATIVITY CERTIFICATES; SUMS OF SQUARES; POSITIVSTELLENSATZ; DEGREE BOUNDS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Dados g1, . . . , gs ∈ R[X ̄] = R[X1, . . . , Xn], S ⊂ R^n el conjunto semialgebraico cerrado básico definido por S = {x ̄ ∈ R^n| g1( ̄x) ≥ 0, . . . , gs( ̄x) ≥ 0} [fórmula aproximada, revisar la misma en el original] y f ∈ R[X ̄] un polinomio que resulta no negativo en S, un problema clásico es buscar una igualdad algebraica que ponga en evidencia ese hecho. Dicha igualdad se denomina certificado de no negatividad de f en S. En esta tesis estudiamos certificados de no negatividad sobre conjuntos semialgebraicos cilíndricos no compactos. En la primera parte, consideramos conjuntos de la forma S × R con S ⊂ R^n semialgebraico cerrado básico y demostramos que el Putinar Positivstellensatz puede extenderse, bajo una hipótesis adicional, a conjuntos de la forma S × R. Además, presentamos una cota para el grado de cada término de la representación obtenida. En la segunda parte, consideramos el caso de polinomios no negativos sobre una franja de R^2. Dado f ∈ R[X, Y] no negativo en el conjunto semialgebraico [0, 1]×R (definido por la desigualdad X(1−X) ≥ 0), se sabe que f se puede reescribir como f = σ0 + σ1X(1 − X) con σ0, σ1 ∈ Σ R[X, Y ]^2. En este trabajo estudiamos la existencia de cotas de grado para cada término de dicha reescritura en los casos degY f ≤ 2 y f positivo en [0, 1]×R. Para este último caso, presentamos un método constructivo para obtener dicha reescritura, que puede extenderse al caso f no negativo en [0, 1] × R, pero con finitos ceros simples y todos en el borde.
Given g1, . . . , gs ∈ R[X ̄] = R[X1, . . . , Xn], S ⊂ R^n the basic closed semialgebraic set defined by S = {x ̄ ∈ R^n| g1( ̄x) ≥ 0, . . . , gs( ̄x) ≥ 0} [fórmula aproximada, revisar la misma en el original] and a polynomial f ∈ R[X ̄] which is non-negative on S, a classical problem is to look for an algebraic identity which makes evident this fact. Such an identity is called a certificate of non-negativity of f over S. In this thesis we study certificates of non-negativity over semialgebraic non-compact cylindrical sets. In the first part, we consider sets of type S × R with S ⊂ R^n a basic closed semialgebraic set and we prove, under an additional hypothesis, that Putinar Positivstellensatz can be extended to sets of type S × R. In addition, we present a degree bound for the terms in the representation. In the second part, we consider the case of polynomials non-negative on a strip in R^2. Given f ∈ R[X, Y] non negative on the semialgebraic set [0, 1] × R (defined by the inequality X(1 − X) ≥ 0), it is known that f can be written as f(X, Y ) = σ0 + σ1X(1 − X) with σ0, σ1 ∈ Σ R[X, Y ]^2. In this work, we study the existence of degree bounds for each term in this representation in the cases degY f ≤ 2 and f positive on [0, 1]×R. For this last case, we present a constructive method to obtain this representation, which can be extended to the case of f non-negative on [0, 1] × R, with at most a finite number of simple zeros, all of them lying on the boundary.
Fil: Escorcielo, Paula Micaela. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.