Certificados polinomiales de no negatividad sobre conjuntos semialgebraicos cilíndricos - Escorcielo, Paula Micaela (2020)
Dados g1, . . . , gs ∈ R[X ̄] = R[X1, . . . , Xn], S ⊂ R^n el conjunto semialgebraico cerrado básico definido por S = {x ̄ ∈ R^n| g1( ̄x) ≥ 0, . . . , gs( ̄x) ≥ 0} [fórmula aproximada, revisar la misma en el original] y f ∈ R[X ̄] un polinomio que resulta no negativo en S, un problema clásico es buscar una igualdad algebraica que ponga en evidencia ese hecho. Dicha igualdad se denomina certificado de no negatividad de f en S. En esta tesis estudiamos certificados de no negatividad sobre conjuntos semialgebraicos cilíndricos no compactos. En la primera parte, consideramos conjuntos de la forma S × R con S ⊂ R^n semialgebraico cerrado básico y demostramos que el Putinar Positivstellensatz puede extenderse, bajo una hipótesis adicional, a conjuntos de la forma S × R. Además, presentamos una cota para el grado de cada término de la representación obtenida. En la segunda parte, consideramos el caso de polinomios no negativos sobre una franja de R^2. Dado f ∈ R[X, Y] no negativo en el conjunto semialgebraico [0, 1]×R (definido por la desigualdad X(1−X) ≥ 0), se sabe que f se puede reescribir como f = σ0 + σ1X(1 − X) con σ0, σ1 ∈ Σ R[X, Y ]^2. En este trabajo estudiamos la existencia de cotas de grado para cada término de dicha reescritura en los casos degY f ≤ 2 y f positivo en [0, 1]×R. Para este último caso, presentamos un método constructivo para obtener dicha reescritura, que puede extenderse al caso f no negativo en [0, 1] × R, pero con finitos ceros simples y todos en el borde.