Ecuaciones diferenciales no lineales con retardo y aplicaciones a la biología

• Autores: Balderrama, Rocío Celeste
• Año de publicación: 2017
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Amster, Pablo Gustavo
• Materia: ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES CON RETARDO; SOLUCIONES PERIODICAS POSITIVAS; TEOREMAS DE PUNTO FIJO; MULTIPLICIDAD; ATRACTOR GLOBAL; TEORIA DE GRADO; SOLUCIONES CASI PERIODICAS POSITIVAS; UNICIDAD; ESTABILIDAD EXPONENCIAL GLOBAL; LEUCEMIA MIELOIDE CRONICA; HEMATOPOYESIS; NONLINEAR DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS; POSITIVE PERIODIC SOLUTIONS; FIXED POINT THEOREMS; MULTIPLICITY; GLOBAL ATTRACTOR; DEGREE THEORY; POSITIVE ALMOST PERIODIC SOLUTIONS; UNIQUENESS; GLOBAL EXPONENTIAL STABILITY; CHRONIC MIELOID LEUKEMIA; HEMATOPOIESIS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis estudiamos ecuaciones diferenciales resonantes no lineales con retardo motivadas por diferentes aplicaciones biológicas. Más específcamente, los modelos que estudiamos surgen como generalizaciones del modelo de Wheldon para la Leucemia Mieloide Crónica (CML) y de los formulados por Mackey-Glass para el estudio de la regulación de la hematopoyesis. Los modelos planteados en esta tesis tienen no linealidades que involucran varios retardos dependientes del tiempo y, el operador lineal de diferenciación asociado al problema tiene núcleo no trivial. En los casos para los cuales hallamos condiciones para la existencia y multiplicidad de soluciones positivas periódicas, este fenómeno de resonancia nos lleva a implementar la teoría de grado topológico de Leray-Schauder. Sin embargo, estos métodos topológicos generalmente no se extienden al espacio de las funciones casi periódicas debido a la falta de compacidad del operador solución involucrado y, en consecuencia, es preciso utilizar otros métodos. Si lo analizamos desde el punto de vista biológico, los problemas casi periódicos son más realistas y por eso interesantes de estudiar, aunque desde el punto de vista matemático el análisis se torna más complicado. Para el análisis de existencia de soluciones positivas casi periódicas, en esta tesis se desarrollaron teoremas de punto fjo en conos adecuados. Además de la existencia, otro problema relevante concierne a la estabilidad de las soluciones. En particular, es especialmente importante la estabilidad exponencial, ya que, por un lado, se cuantifca la tasa de convergencia y, por otro lado, es robusta a perturbaciones. Usando una desigualdad de tipo Halanay planteamos un teorema para la estabilidad global explonencial en el caso de parámetros dependientes del tiempo. Más aun, damos cotas explícitas para el rango de convergencia. Luego, empleando este resultado, obtenemos condiciones sufcientes para la estabilidad de la solución casi periódica del modelo estudiado.
In this thesis we study nonlinear differential equations with delay that arise on different biological applications. More specifically, the models under consideration emerge as a generalization motivated by the Wheldon model for chronic myeloid leukemia (CML) and by Mackey-Glass models for studying the regulation of hematopoiesis. The models proposed in this thesis have nonlinearities that involve several time-dependent delays, and the linear differentiation operator associated to the problem has a non-trivial kernel. In cases for which we find conditions for the existence and multiplicity of positive periodic solutions, this resonance effect leads us to implement the theory of topological degree of Leray-Schauder. However, in general, the above mentioned topological methods cannot be extended to the more general space of almost periodic functions. This impediment is due to the lack of compactness of the involved solution operators. Thus, other methods must be employed. For the existence of almost periodic solutions we develop fixed point theorems in appropriate cones. From the biological point of view, an important feature of the almost periodic problems consists in the fact that they are more realistic and, consequently, more interesting to study. Besides existence, another relevant matter is to determine whether or not the obtained solutions are stable. In particular, exponential stability is especially important for two reasons: on the one hand, the rate of convergence is quantifed and, on the other hand, it is robust to perturbations. We prove a global exponential stability lemma by means of a Halanay-type inequality in the time-dependent parameters. Moreover, we give explicit bounds for the convergence rate. Our results allow to deduce sufficient conditions to ensure global exponential stability of almost periodic solutions of the model under consideration.
Fil: Balderrama, Rocío Celeste. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.