Métodos topológicos para algunas ecuaciones diferenciales funcionales resonantes no lineales

• Autores: Déboli, Alberto Fernando
• Año de publicación: 2014
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Amster, Pablo Gustavo
• Materia: ECUACIONES DIFERENCIALES FUNCIONALES RESONANTES NO LINEALES; PROBLEMAS DE CONTORNO; GRADO DE COINCIDENCIA; METODO DE SUB Y SUPER SOLUCIONES ORDENADAS; METODO DIAGONAL DE CANTOR; CONDICIONES DE TIPO LANDESMAN-LAZER; CONDICION DE NIRENBERG; ECUACIONES DIFERENCIALES CON RETARDO; SOLUCIONES PERIODICAS POSITIVAS; ATRACTOR GLOBAL; NONLINEAR FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS; BOUNDARY VALUE PROBLEMS; COINCIDENCE DEGREE; UPPER AND LOWER SOLUTIONS; CANTOR´S DIAGONAL METHOD; LANDESMAN-LAZER CONDITIONS; NIRENBERG CONDITIONS; DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS; POSITIVE PERIODIC SOLUTIONS; GLOBAL ATTRACTOR
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis se estudia la existencia de soluciones de dos ecuaciones diferenciales funcionalesresonantes no lineales. Por un lado, se estudia existencia de al menos una soluciónde un problema de segundo orden con condiciones de Neumann bajo diferentescondiciones impuestas a la no linealidad, con la particularidad de que ésta depende de losvalores de la solución desconocida en el borde del dominio. Más precisamente, se pruebala existencia de al menos una solución adaptando a este tipo de problemas las condicionesclásicas de Landesman-Lazer para el caso escalar y para el caso de un sistema, la condiciónde Nirenberg. Por otro lado, se estudia un problema de primer orden con una nolinealidad que depende de varios retardos variables. Más precisamente, se prueba unresultado de existencia de al menos una solución periódica positiva para el caso escalary para un sistema, y un resultado de estabilidad generalizando los obtenidos por otrosautores. En todos los problemas estudiados, las no linealidades están condicionadas ensus argumentos y se trata de problemas resonantes en el sentido de que el operador linealde diferenciación involucrado tiene núcleo no trivial. El principal método que se implementa,en cada caso, para probar existencia de solución se basa en la teoría del gradode coincidencia de Mawhin, el cual es una generalización del grado topológico de Leray Schauder. No obstante, existen problemas resonantes en los que el grado de coincidenciano se aplica; el problema de segundo orden bajo condiciones de Neumann en un dominiono acotado es un caso particular de ese tipo y se aborda recurriendo al método de las suby super soluciones ordenadas combinado con un argumento del tipo diagonal.
In this work, we study the existence of solutions of two nonlinear resonant ordinary functionaldifferential equations. In the first place, we consider an abstract second order problemunder Neumann boundary conditions arising on an electro-diffusion model. Thisproblem has the particularity that the nonlinear term depends on the Dirichlet values ofthe yet-to-be-determined solution. We shall prove the existence of solutions by adaptingthe classical Landesman-Lazer conditions for the scalar case, and a condition by Nirenbergfor a system of equations. In the second place, we study a first order Nicholson typeequation with several delays. We shall prove the existence of a positive periodic solutionboth for the scalar equation and for a system. Also, we shall prove an stability result. Inboth cases, the nonlinear term is a functional operator and the problems are resonant inthe sense that the associated linear operators have nontrivial kernel. Our main tool forproving existence of solutions shall be Mawhin’s coincidence degree, which is a generalizationof Leray-Schauder degree. There are, however, some cases in which this theorycannot be applied: for example, the case of a boundary value problem on the half-line,for which we adapt the method of upper and lower solutions combined with a diagonalargument.
Fil: Déboli, Alberto Fernando. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.