Persistencia, soluciones periódicas y atractores en ecuaciones diferenciales con retardo

• Autores: Bondorevsky, Melanie
• Año de publicación: 2023
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Amster, Pablo Gustavo
• Materia: ECUACIONES DIFERENCIALES CON RETARDO; SISTEMA SEMI-DINAMICOS; DINAMICA POBLACIONAL; PERSISTENCIA DEBIL; PERSISTENCIA FUERTE; PERSISTENCIA UNIFORME; FUNCIONES GUIA; SOLUCIONES PERIODICAS; GRADO TOPOLOGICO; ATRACTOR GLOBAL; DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS; SEMI-DYNAMICAL SYSTEMS; POPULATION DYNAMICS; WEAK PERSISTENCE; STRONG PERSISTENCE; UNIFORM PERSISTENCE; GUIDING FUNCTIONS; PERIODIC SOLUTIONS; TOPOLOGICAL DEGREE; GLOBAL ATTRACTOR
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

El objetivo principal de esta tesis es investigar cierta clase de sistemas semi-dinámicos, los cuales provienen de sistemas de ecuaciones diferenciales con retardos (EDRs). Más precisamente, este trabajo está centrado en el estudio de propiedades de persistencia, existencia de soluciones periódicas y existencia de atractores en este contexto. En esta tesis se trabaja específicamente con dos tipos de ecuaciones. En primer lugar, se estudian sistemas del tipo: x′(t) = f(t, x(t), x(t − τ )), donde f : [0, +∞) × [0, +∞) 2N → R N es una función continua y τ > 0 es el retardo. En presencia de retardos, una condición inicial para el sistema es una función continua φ : [−τ,0] → [0, +∞)N , con φ(t) = x(t) para −τ ≤ t ≤ 0. En segundo lugar, con el objetivo de estudiar problemas que provienen de dinámica poblacional se analiza el siguiente tipo de sistemas de ecuaciones:x′(t) = F(t, x(t), x(t − τ1), x(t − τ2), ..., x(t − τk)), donde F : [0, +∞) × [0, +∞)(k+1) → R es una función continua y τj > 0 son los retardos, j = 1, ..., k, k ≥ 2. En este caso, una condición inicial para el sistema es una función continua φ(t) : [−τ∗, 0] → [0, +∞), con τ∗ = max{τj, j = 1, .., k}. En particular, se centró la atención en ecuaciones tipo Nicholson para el caso N dimensional. Más precisamente, se ha considerado F = (F1, F2, ..., FN ) una función continua, donde para cada i = 1, .., N, Fi : [0, +∞) × [0, +∞)N+k → R está dada por Fi = −di(t, xi)+ XN l=1,l̸=ibi,l(t, xl)+Xkj=1pi,j (t)xi(t−τj )e−xi(t−τj )−Hi(t, x1, ..., xN ). En este modelo, todos los términos son funciones no lineales. Específicamente, di representan las tasas de mortalidad de cada población, i = 1, .., N, bi,l las interacciones colaborativas entre poblaciones, l = 1, .., N, pi,j (t) las tasas de reproducción, j = 1, ...k, τj > 0 son los tiempos necesarios de una misma población para alcanzar la maduración y Hi un término de recolección que depende de las N poblaciones. En el contexto de sistemas dinámicos, la noción de persistencia juega un rol importante para estudiar el comportamiento de las soluciones de un sistema de EDRs, especialmente en sistemas que provienen de modelos biológicos. Por ejemplo, si un sistema de especies que interactúan entre sí es persistente (en un sentido apropiado) entonces es casi seguro que las especies no se extinguen. Entre las diferentes nociones de persistencia, se buscó considerar aquellas que se mantienen bajo pequeñas perturbaciones. Se utilizaron específicamente tres nociones de persistencia: débil, fuerte y uniforme (fuerte). En particular, se ha buscado extender los resultados sobre persistencia para el caso más general posible. A continuación, se estudió la existencia de soluciones T-periódicas. A diferencia del caso de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs), el espacio de condiciones iniciales es infinito dimensional. Esto implica que las herramientas clásicas de la teoría de EDOs no se aplican de manera directa. Es por ello que en este trabajo se utiliza teoría de grado de Leray-Schauder en el espacio de funciones continuas T-periódicas para probar los resultados. En el caso de ecuaciones tipo Nicholson, se incluyen ejemplos numéricos para ilustrar los resultados obtenidos. Por último, bajo condiciones apropiadas, se estudia la existencia de atractores globales. Se demuestra que, en cierto sentido, las condiciones consideradas para la persistencia también son necesarias. Concretamente, si dichas condiciones no se cumplen, entonces ciertas hipótesis adicionales implican que cero es un atractor global. En particular, en el caso de ecuaciones tipo Nicholson esto se traduce, naturalmente, en la extinción de poblaciones. En este trabajo de investigación cabe mencionar la utilización de funciones tipo guía, que pueden ser interpretadas como funciones tipo Lyapunov. Se considera una función continuamente diferenciable V : (0, +∞)N → (0, +∞) tal que V (x) → 0 si x → 0 en (0, +∞)N. La diferencia con las funciones clásicas de Lyapunov es que la condición que pedimos en este caso es V > ̇ 0, a fin de asegurar que las trayectorias no pueden tender a 0. Para la primera parte, el enfoque se ha centrado en buscar condiciones apropiadas sobre V (x) para garantizar que el origen sea un repulsor uniforme. En el caso particular de sistemas tipo Nicholson, a diferencia del enfoque anterior, se emplean funciones tipo guía, que no son continuamente diferenciables pero que, sin embargo, permiten evitar el uso de herramientas más técnicas. Una ventaja adicional del método es el hecho de que la persistencia para el sistema N-dimensional puede demostrarse mediante una reducción a un problema unidimensional. El texto está organizado de la siguiente forma. El Capítulo 1 incluye el objetivo y la estructura de esta tesis. En el Capítulo 2 se provee una introducción al tema, teniendo en cuenta el marco de investigación y resultados relevantes para el estudio de EDRs. En los Capítulos 3 y 4 se presenta el análisis de persistencia, tanto para sistemas más generales como para sistemas tipo Nicholson. En el Capítulo 5 probamos bajo qué condiciones se puede garantizar la existencia de soluciones periódicas. En el Capítulo 6, se brindan condiciones suficientes para garantizar que el origen es un atractor global de las trayectorias positivas. Por último, se incluye un capítulo 7 de conclusiones y trabajos futuros. Los problemas estudiados en esta tesis resultaron en dos publicaciones en revistas internacionales. Para concluir, es importante señalar que la atención se centra en uno de los temas más importantes de la dinámica de poblaciones que es la supervivencia de la población total. Esperamos que este estudio contribuya a una mejor comprensión de este tipo de sistemas y de otros más generales en el contexto de la dinámica de poblaciones.
The main purpose of this thesis is to study a certain class of semi-dynamical systems that arise from systems of delayed differential equations (DDEs). In this context, qualitative properties are proven, namely, persistence, existence of periodic solutions and existence of attractors. In this thesis two types of equations are specifically dealt with. In the first part, the systems are of the type: x′(t) = f(t, x(t), x(t − τ )) where f : [0, +∞) × [0, +∞) 2N → RN is a continuous function and τ > 0 is the delay. In the presence of delays, an initial condition for the system is a continuous function φ : [−τ, 0] → [0, +∞) N , with x(t) = φ(t), for −τ ≤ t ≤ 0. In the second part, with the aim of studying problems arising from population dynamics, the following type of systems of equations are analyzed: x′(t) = F(t, x(t), x(t − τ1), x(t − τ2), ..., x(t − τk)), where F : [0, +∞) × [0, +∞)(k+1) → R is continuous and τj > 0 are the delays, j = 1, ..., k, k ≥ 2. In this case, an initial condition for this system is a continuous function φ(t) : [−τ∗, 0] → [0,+∞), with τ∗ = max{τj, j = 1, .., k}. In particular, the attention was focused on Nicholson-type equations for the N dimensional case. More precisely, it has been considered F = (F1, F2, ..., FN) continuous, such that for each i = 1, .., N, Fi : [0, +∞) × [0, +∞)N+k → R is given by Fi = −di(t, xi)+ XN l=1,l̸=ibi,l(t, xl)+Xkj=1pi,j (t)xi(t−τj )e−xi(t−τj )−Hi(t, x1, ..., xN ). In this model, we considered nonlinear terms. Specifically, di represent mortality rates for each population, i = 1, .., N, bi,l collaborative interactions between populations, l = 1, .., N, pi,j reproductive rates, j = 1, ...k, τj the time required to reach maturity, and Hi a harvesting term that depends on the N populations. In the context of dynamical systems, the notion of persistence plays an important role in the study of the behavior of the solutions of a DDEs system, especially in systems that are derived from biological models. For example, if a system of mutually interacting species is persistent (in an appropriate sense) then it is almost sure that the species will not become extinct. Among the different notions of persistence, it was intended to consider those that are preserved under small perturbations. Three notions of persistence were specifically used: weak, strong and uniform (strong). In particular, we have aimed to extend the results on persistence to the most general case possible. Subsequently, the existence of T-periodic solutions was studied. In contrast to the case of ordinary differential equations (ODEs), the space of initial conditions is infinite dimensional. This implies that the classical tools of ODEs theory do not apply directly. Therefore, in this work Leray-Schauder degree theory is used in the space of continuous T-periodic functions to prove the results. In the case of Nicholson-type equations, numerical examples are included to illustrate the results here obtained. Lastly, under appropriate conditions, the existence of global attractors is studied. It is shown that, in a certain sense, the conditions considered in persistence are also necessary. In fact, if they are not fulfilled, then certain additional hypotheses imply that the zero equilibrium is a global attractor. In particular, in the case of Nicholson-type equations, this translates into population extinction. In this work, it is worth mentioning the use of guiding-type functions, which can be interpreted as Lyapunov-type functions. A continuously differentiable function is considered V : (0, +∞)N → (0, +∞) tal que V (x) → 0 si x → 0 en (0, +∞)N. The difference with classical Lyapunov functions is that the condition we are imposing for in this case is V > 0, in order to ensure that trajectories cannot converge to zero. For the first part, the approach was focused on finding appropriate conditions on V (x) to guarantee that the origin is a uniform repeller. In the particular case of Nicholson-type systems, unlike the previous approach, we employ guiding-type functions which are not continuously differentiable but which, nevertheless, allow us to avoid the use of more technical tools. An additional advantage of the method is the fact that persistence for the N-dimensional system can be proved by a reduction to a one-dimensional problem. The text is organized as follows. Chapter 1 includes the purpose and structure of this thesis. Chapter 2 provides an introduction to the topic, taking into account the research framework and results relevant to the study of DDEs. In Chapters 3 and 4, the analysis of persistence is introduced, both for general and Nicholson-type systems. In Chapter 5 is presented the conditions under which the existence of periodic solutions can be proven. In Chapter 6, sufficients conditions guaranteeing that the trivial equilibrium is global attractor of the positive trajectories are obtained. Finally, a Chapter 7 with conclusions and future work is included. The problems studied in this thesis resulted in two publications in international journals. To conclude, it is important to point out that the primary focus is on one of the most important topics in population dynamics, which is the survival of the total population. We hope that this research will contribute to a better understanding of these and other systems in the context of population dynamics.
Fil: Bondorevsky, Melanie. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.