Solución de ecuaciones diferenciales provenientes de modelos financieros, utilizando métodos topológicos

• Autores: Averbuj, Corina G.
• Año de publicación: 2004
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Mariani, M. C.; Amster, Pablo Gustavo
• Materia: INSTRUMENTO DERIVADO; ECUACION DE BLACK-SCHOLES; ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES; ESPACIOS DE SOBOLEV; METODO DE CONTINUACION; FINANCIAL DERIVATIVES; BLACK-SCHOLES EQUATION; PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS; SOBOLEV SPACES; CONTINUATION METHOD
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En este trabajo se estudian ecuaciones generalizadas obtenidas a partir del modelo clásico de valuación de opciones de Black y Scholes. En primer lugar, se considera un problema introducido por los analistas, quienes encontraron necesario modificar el parámetro que reflejaba la volatilidad cuando utilizaban el modelo de Black- Scholes para valuar instrumentos derivados. Como consecuencia, en esta tesis se han estudiado modelos de valuación bajo el supuesto de volatilidad estocástica, cuyo comportamiento sigue un proceso de distribución lognormal. Hemos construido una solución del problema estacionario con condiciones de Dirichlet a partir del método de Continuación, y hemos mostrado la existencia de una solución utilizando el método de sub y super soluciones. El siguiente tema de estudio se basa en uno de los supuestos clásicos para la resolución de modelos tipo Black-Scholes al considerarse que la cartera del inversor se revalúa en forma continua. Este dinamismo implica costos de transacción, debido a la compra/venta de los títulos necesarios para el rebalanceo del portafolio. En el capítulo 4 se incorporan costos de transaction al modelo, los cuales se comportan como una función lineal decreciente, f(x) = a - bx, (a, b >0), dependiente de la cantidad del activo subyacente necesario en cada rebalanceo. Se prueba la existencia de una solución del problema estacionario no lineal asociado así como también se estudian la existencia y unicidad de la solución del problema de evolución con condiciones de contorno adecuadas. Finalmente se ha generalizado el modelo de Black- Scholes considerando el problema parabólico resultante bajo los supuestos de volatilidad estocástica y en un dominio no acotado. Bajo condiciones adecuadas, se ha demostrado la existencia y unicidad de soluciones usando el método de sub y super soluciones y un argumento diagonal.
This work is devoted to the study of differential equations that generalize the classical Black- Scholes model. Firstly, we consider the problem that has been introduced by practitioners, who observed the necessity of changing the volatility parameter of the model. In this thesis, we study a pricing model in which the volatility parameter is assumed to be stochastic. We obtain a solution of the stationary Dirichlet problem by the Continuation method, and we show the existence of a solution by the method of lower and upper solutions. On the other hand, we recall that one of the classic assumptions in Black-Scholes model is that the investor's portfolio rehedged in a continuous way. This dynamic implies transaction costs, due to the bidloffer spread of stocks that are needed to maintain the portfolio equilibrium. Thus, in the chapter 4 we introduce transaction costs to the model. We assume that the costs behave as a nonincreasing linear function f{x) = a - bx, (a, b >0), that depends on the amount of the asset that is needed to hedge the replicating portfolio. We prove the existence of solutions for the stationary nonlinear problem. Moreover, we prove the existence and uniqueness of solutions for the nonstationary parabolic problem under value boundary conditions. Finally, we study a parabolic problem that arises on Black- Scholes model with stochastic volatility in an unbounded domain. Under suitable conditions, we prove existence and uniqueness of solution using the method of lower and upper solutions and a diagonal argument.
Fil: Averbuj, Corina G.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.