Solución de ecuaciones diferenciales provenientes de modelos financieros, utilizando métodos topológicos - Averbuj, Corina G. (2004)
En este trabajo se estudian ecuaciones generalizadas obtenidas a partir del modelo clásico de valuación de opciones de Black y Scholes. En primer lugar, se considera un problema introducido por los analistas, quienes encontraron necesario modificar el parámetro que reflejaba la volatilidad cuando utilizaban el modelo de Black- Scholes para valuar instrumentos derivados. Como consecuencia, en esta tesis se han estudiado modelos de valuación bajo el supuesto de volatilidad estocástica, cuyo comportamiento sigue un proceso de distribución lognormal. Hemos construido una solución del problema estacionario con condiciones de Dirichlet a partir del método de Continuación, y hemos mostrado la existencia de una solución utilizando el método de sub y super soluciones. El siguiente tema de estudio se basa en uno de los supuestos clásicos para la resolución de modelos tipo Black-Scholes al considerarse que la cartera del inversor se revalúa en forma continua. Este dinamismo implica costos de transacción, debido a la compra/venta de los títulos necesarios para el rebalanceo del portafolio. En el capítulo 4 se incorporan costos de transaction al modelo, los cuales se comportan como una función lineal decreciente, f(x) = a - bx, (a, b >0), dependiente de la cantidad del activo subyacente necesario en cada rebalanceo. Se prueba la existencia de una solución del problema estacionario no lineal asociado así como también se estudian la existencia y unicidad de la solución del problema de evolución con condiciones de contorno adecuadas. Finalmente se ha generalizado el modelo de Black- Scholes considerando el problema parabólico resultante bajo los supuestos de volatilidad estocástica y en un dominio no acotado. Bajo condiciones adecuadas, se ha demostrado la existencia y unicidad de soluciones usando el método de sub y super soluciones y un argumento diagonal.