Puntos racionales en variedades sobre cuerpos finitos. Estimaciones, algoritmos y aplicaciones

• Autores: Cafure, Antonio Artemio
• Año de publicación: 2006
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Matera, Guillermo
• Materia: VARIEDADES SOBRE CUERPOS FINITOS; PUNTOS RACIONALES; SOLUCION GEOMETRICA; STRAIGHT-LINE PROGRAMS; ALGORITMOS PROBABILISTICOS; TEOREMAS DE BERTINI; TEORIA DE ELIMINACION EFECTIVO; VARIETIES OVER FINITE FIELDS; RATIONAL POINTS; GEOMETRIC SOLUTIONS; STRAIGHT-LINE PROGRAMS; PROBABILISTIC ALGORITHMS; BERTINI THEOREMS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Dada una variedad algebraica V definida sobre un cuerpo nito Fq consideramos el conjunto de puntos q-racionales V(Fq) de V. Tratamos dos problemas que surgen a partir de tal consideración: estimar el cardinal de V(Fq) y encontrar un elemento de V(Fq). El abordaje de estos problemas se sostiene en la utilización de métodos de teoría de eliminación efectiva y versiones efectivas de los Teoremas de Bertini. Estimamos la cantidad V(Fq) de puntos q-racionales en el caso en que V es una variedad absolutamente irreducible. Las estimaciones se expresan en términos de parámetros intrínsecos asociados a la variedad V, principalmente el grado. Damos un algoritmo para encontrar un punto de V(Fq) cuando V es absolutamente irreducible y está definida por una sucesión regular reducida. Su complejidad en tiempo es grossomodo cuadrática en el logaritmo de q y un invariante geométrico del sistema de entrada. Este invariante, denominado el grado del sistema, está acotado por el número de Bézout del sistema. El algoritmo funciona para cuerpos de cualquier característica, pero requiere que q sea mayor que el grado de la variedad a la cuarta.
For a given variety V dened over a nite eld we consider the set of q-rational points V(Fq) of V. We consider two different problems arising form this consideration: estimating the cardinality of V(Fq) and nding an element of V(Fq). Our approach rely on methods of effective elimination theory and effective versions of the Bertini theorems. We estimate the number of q-rational points V(Fq) when V is absolutely irreducible. Our estimates are expressed in terms of intrinsic parameters of V, mainly the degree of V. We also exhibit a probabilistic algorithm which computes a rational point of an absolutely irreducible variety over a finite field defined by a reduced regular sequence. Its time-space complexity is roughly quadratic in the logarithm of the cardinality of the eld and a geometric invariant of the input system. This invariant, called the degree, is bounded by the Bézout number of the system. Our algorithm works for elds of any characteristic, but requires the cardinality of the eld to be greater than a quantity which is roughly the fourth power of the degree of the input variety.
Fil: Cafure, Antonio Artemio. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.