Puntos racionales en variedades sobre cuerpos finitos. Estimaciones, algoritmos y aplicaciones - Cafure, Antonio Artemio (2006)
Dada una variedad algebraica V definida sobre un cuerpo nito Fq consideramos el conjunto de puntos q-racionales V(Fq) de V. Tratamos dos problemas que surgen a partir de tal consideración: estimar el cardinal de V(Fq) y encontrar un elemento de V(Fq). El abordaje de estos problemas se sostiene en la utilización de métodos de teoría de eliminación efectiva y versiones efectivas de los Teoremas de Bertini. Estimamos la cantidad V(Fq) de puntos q-racionales en el caso en que V es una variedad absolutamente irreducible. Las estimaciones se expresan en términos de parámetros intrínsecos asociados a la variedad V, principalmente el grado. Damos un algoritmo para encontrar un punto de V(Fq) cuando V es absolutamente irreducible y está definida por una sucesión regular reducida. Su complejidad en tiempo es grossomodo cuadrática en el logaritmo de q y un invariante geométrico del sistema de entrada. Este invariante, denominado el grado del sistema, está acotado por el número de Bézout del sistema. El algoritmo funciona para cuerpos de cualquier característica, pero requiere que q sea mayor que el grado de la variedad a la cuarta.