Sobre la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales y de la interpolación polinomial multivariada

• Autores: Giménez, Nardo
• Año de publicación: 2017
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Matera, Guillermo; Solernó, Pablo Luis
• Materia: RESOLUCION DE SISTEMAS POLINOMIALES SOBRE Q; COMPLEJIDAD BIT; SUCESION REGULAR REDUCIDA; FORMA DE CHOW; FIBRAS DE LEVANTAMIENTO; LEVANTAMIENTO DE HENSEL; PRIMOS LUCKY; INTERPOLACION DE HERMITE-LAGRANGE; PROBLEMA DE INTERPOLACION; ALGORITMO DE INTERPOLACION; COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL; COTA INFERIOR DE COMPLEJIDAD; APLICACION CONSTRUIBLE; APLICACION RACIONAL; APLICACION TOPOLOGICAMENTE ROBUSTA; APLICACION GEOMETRICAMENTE ROBUSTA; POLYNOMIAL SYSTEM SOLVING OVER Q; BIT COMPLEXITY; REDUCED REGULAR SEQUENCE; CHOW FORM; LIFTING FIBERS; HENSEL LIFTING; LUCKY PRIMES; HERMITE-LAGRANGE INTERPOLATION; INTERPOLATION PROBLEM; INTERPOLATION ALGORITHM; COMPUTATIONAL COMPLEXITY; LOWER COMPLEXITY BOUND; CONSTRUCTIBLE MAP; RATIONAL MAP; TOPOLOGICALLY ROBUST MAP; GEOMETRICALLY ROBUST MAP
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

La resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales y la interpolación polinomial multivariada se analizan desde el punto de vista algorítmico y de la complejidad computacional. Desde el punto de vista algorítmico se exhibe un algoritmo probabilístico queresuelve un sistema polinomial cuya complejidad bit es esencialmente cuadrática enel número de Bézout del sistema y lineal en su talla bit. Este algoritmo resuelve el sistema de entrada módulo un número primo p y aplica levantamiento p–ádico. Para esto, se establecen una serie de resultados sobre la longitud bit de un primo “lucky” p, es decir un primo para el cual la reducción del sistema de entrada módulo p preserva ciertas propiedades geométricas y algebraicas fundamentales del sistema original. Luego este algoritmo se aplica al problema de la interpolación polinomial cuando elconjunto de nodos está dado como el conjunto de ceros de un sistema polinomial,dando como resultado un procedimiento que calcula intepolantes de “bajo grado”. La complejidad bit de estos algoritmos es similar a la de los algoritmos que usanbases de Grobner o H–bases en el peor caso y en ciertos casos de interés prácticopuede resultar considerablemente menor. Desde el punto de vista de la complejidad computacional se demuestran cotasinferiores para la complejidad de los problemas de interpolación polinomial. Se introduceun nuevo modelo computacional para la interpolación de Hermite–Lagrangeque incluye clases no lineales de interpolantes. Este modelo incluye fenómenos de coalescencia y captura una gran variedad de conocidos problemas y algoritmos deinterpolación. En este contexto, se exhiben ejemplos de problemas de interpolacióncon clases no lineales de interpolantes cuya complejidad es intrínsecamente exponencial,mostrando que nuestro algoritmo para interpolación polinomial multivariada esesencialmente asintóticamente óptimo para los problemas seleccionados y que nada se gana admitiendo no linealidad.
Polynomial system solving and multivariate polynomial interpolation over therationals are considered from both the algorithmic and computational point of view. From the algorithmic point of view a probabilistic algorithm is developed whichsolves a polynomial system whose bit complexity is roughly quadratic in the B´ezoutnumber of the system and linear in its bit size. Our algorithm solves the input systemmodulo a prime number p and applies p–adic lifting. For this purpose, we establisha number of results on the bit length of a “lucky” prime p, namely one for whichthe reduction of the input system modulo p preserves certain fundamental geometricand algebraic properties of the original system. Then this algorithm is applied topolynomial interpolation when the set of nodes is given as the set of zeros of apolynomial system, yielding a procedure which computes “low degree” interpolants. The bit complexity of these algorithms is similar to that of the algorithms that use Grobner or H–bases in the worst case, and in certain cases of particular interest canbe significantly lower. From the computational complexity point of view lower complexity bounds forthe complexity of interpolation algorithms by polynomials are shown. A new computationalmodel for Hermite–Lagrange interpolation with nonlinear classes of interpolantsis introduced, which includes coalescence phenomena and captures a largevariety of known Hermite–Lagrange interpolation problems and algorithms. In thiscontext examples of interpolation problems are exhibited with nonlinear classes ofinterpolants whose complexity is intrinsically exponential, showing that our algorithmfor multivariate polynomial interpolation is essentially asymptotically optimalfor the problems under consideration and that nothing is gained by admittingnonlinearity.
Fil: Giménez, Nardo. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.