Espacios de móduli de foliaciones, álgebras de Lie y variedades tóricas

• Autores: Velazquez, Sebastián Lucas
• Año de publicación: 2022
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cukierman, Fernando Miguel
• Materia: FOLIACIONES SINGULARES; ESPACIOS DE MODULI; VARIEDADES TORICAS; ALGEBRAS DE LIE; SINGULAR FOLIATIONS; MODULI SPACES; TORIC VARIETIES; LIE ALGEBRAS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original] El objetivo de esta tesis es contribuir al estudio y clasificación de foliaciones singulares en una variedad algebraica compleja X. Dicho problema se traduce en el estudio de la las propiedades geométricas de los esquemas Inv,iPf y Fq(X,L) que parametrizan foliaciones en X. En el primer capítulo mostramos que dichos espacios pueden tener geometrías distintas aunque fácilmente comparables. En el segundo de los capítulos nos centramos en el estudio de foliaciones en variedades tóricas. Mostramos que bajo ciertas condiciones, para cada elección de fibrados de línea L1, . . . ,Ln−q ∈ P ic(X) el conjunto de foliaciones F con haz tangente T F ≃ Ln−q i=1 Li tiene interior no vacıo en el correspondiente espacio Fq (X,L), generalizando [Theorem 1, [12]] y [Theorem 2, [12]]. Como aplicación de estos resultados construimos componentes irreducibles de dichos espacios tales que su punto genérico es un pullback lineal de una foliación en una subvariedad invariante por la acción del toro de X. Como caso particular de esta construcción recuperamos las componentes irreducibles asociadas a pullbacks por proyecciones lineales Pn —> Pr construidas en [Corollary 5.1, [12]]. La última parte de este trabajo está dedicada al análisis de la estabilidad del conjunto de foliaciones F(g) inducidas por la acción infinitesimal de una sub algebra de Lie g ⊆ L := H0 (X, T X) en una variedad proyectiva X. Tras construir los espacios S(d) de sub álgebras de dimensión d de L, definimos un morfismo φ : II i S(d)i → Inv cuyo dominio es la flattening stratification asociada a la familia de distribuciones tautológica en X con base S(d). El resultado principal de este capıtulo establece que si g ⊆ L es una sub algebra tal que g = H0 (X, T F(g)) y h1 (X, T F(g)) = 0, entonces φ es un isomorfismo localmente alrededor de g y F(g). Este fenómeno puede ser interpretado en términos de una conexión entre el complejo de hojas de F(g) introducido en [15] y el complejo de Chevalley-Eilenberg del módulo L/g. Dicho resultado nos permite dotar de un marco común a distintas construcciones hechas en la literatura y generalizar muchas de ellas a contextos más generales. En particular, describimos varias componentes irreducibles de Inv para distintos tipos de variedades.
[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original] The main goal of this thesis is to contribute to the study and classification of singular foliations in a complex algebraic variety X. This problem can be interpreted in terms of the algebraic properties of the schemes Inv, iPf and Fq(X,L) parameterizing foliations in X. In the first chapter of this thesis we show that these spaces may have different (although easily comparable) geometries. In the second chapter we focus on foliations on toric varieties. We show that under certain hypotheses, for every choice of line bundles L1, . . . ,Ln−q on X the set of foliations F with tangent sheaf T F ≃ Ln−qi=1 Li has nontrivial interior in the corresponding space Fq(X,L), generalizing [Theorem 1, [12]] and [Theorem 2, [12]]. As an application of these results, we construct irreducible components of these spaces whose general element is a linear pullback of a foliation on a variety that is invariant under the action of the torus of X. In particular, we can recover the irreducible components associated to linear proyections Pn→ Printroduced in [Corollary 5.1, [12]]. The final part of this thesis is dedicated to the analysis of the stability of the set of foliations F(g) induced by the infinitesimal action of a Lie subalgebra g ⊆ L := H0 (X, T X) on a projective variety X. After constructing the spaces S(d) parameterizing subalgebras of dimension d of L, we define a morphism φ :IIiS(d)i → Inv whose domain is the flattening stratification associated to the tautological family of distributions on X with base S(d). The main theorem of this chapter states that if g ⊆ L is a subalgebra satisfying g = H0 (X, T F(g)) and h1(X, T F(g)) = 0, then φ is an isomorphism locally around g and F(g). This can be understood in terms of a connection between the leaf complex of F(g) introduced in [15] and the Chevalley-Eilenberg complex of the g-module L/g. This result gives a common framework for different constructions previously made in the literature and allows many of them to be generalized to more general contexts. In particular, we describe many irreducible components of Inv for different types of varieties.
Fil: Velazquez, Sebastián Lucas. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.