Razón de volumen entre cuerpos convexos.

• Autores: Merzbacher, Diego Mariano
• Año de publicación: 2019
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Galicer, Daniel Eric
• Materia: RAZON DE VOLUMEN; SIMPLICES; CUERPOS CONVEXOS; POLITOPOS ALEATORIOS; VOLUME RATIO; SIMPLICES; CONVEX BODIES; RANDOM POLYTOPES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Esta tesis tiene como objeto contribuir al estudio de algunos problemas de análisis geométrico asintótico relativos a aproximaciones volumétricas de un cuerpo convexo mediante imágenes afines de otro. Dado un cuerpo convexo K ⊂ R^n con baricentro en el origen, mostramos que existe un símplice S ⊂ K que tiene también baricentro en el origen tal que (|S|/|K|)^ ̄1/n ≥ c/√n , donde c > 0 es una constante absoluta y |·| denota la medida de Lebesgue. Conseguimos esto usando técnicas de geometría estocástica. Más precisamente, si K está en posición isotrópica, presentamos un método para encontrar símplices centrados verificando la cota antes mencionada que funciona con probabilidad extremadamente alta. Por dualidad, dado un cuerpo convexo K ⊂ R^n mostramos que existe un símplice S que contiene a K con el mismo baricentro tal que (|S|/|K|)^1/n ≤ d√n , para alguna constante absoluta d > 0. Salvo por la constante la estimación no puede ser mejorada. Defimos la máxima razón de volumen de un cuerpo convexo K ⊂ R^n como lvr(K) : = supL⊂R^n vr(K, L) , donde el supremo se toma sobre todos los cuerpos convexos L. Probamos la siguiente cota que resulta ajustada en general: c√n ≤ lvr(K), para todo cuerpo K (donde c > 0 es una constante absoluta). Este resultado mejora la cota anteriormente conocida que es del [ver formula en el original]. Estudiamos el comportamiento asintótico exacto para algunas clases naturales de cuerpos convexos. En particular, si K es la bola unitaria de una norma unitariamente invariante en R^dxd (e.g., la bola unidad de la clase p-Schatten para 1 ≤ p ≤ ∞), la bola unidad de una norma tensorial en el producto de espacios lp o K un cuerpo incondicional, probamos que lvr(K) se comporta como la raíz cuadrada de la dimensión del espacio ambiente También analizamos el problema de estimar la razón de volumen entre proyecciones de dos cuerpos convexos en R^n en subespacios de dimensión proporcional a n. [fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original].
This thesis aims to contribute to the study of some problems of asymptotic geometrical analysis concerning volumetric approximations of a convex body by an affine image of another one. For a convex body K ⊂ R^n with barycenter at the origin, we show that there is a simplex S ⊂ K having also barycenter at the origin such that (|S|/|K|)^ ̄1/n ≥ c/√n, where c > 0 is an absolute constant and |·| stands for the Lebesgue measure. This is achieved using stochastic geometric techniques. More precisely, if K is in isotropic position, we present a method to find centered simplices verifying the above bound that works with extremely high probability. By duality, given a convex body K ⊂ R^n we show that there is a simplex S enclosing K with the same bary-center such that (|S|/|K|)^1/n ≤ d√n , for some absolute constant d > 0. Up to the constant, the estimate cannot be lessened. We define the largest volume ratio of given convex body K ⊂ R^n as lvr(K) : =“ supL⊂R^n vr(K, L), where the sup runs over all the convex bodies L. We prove the following sharp lower bound: c√n ≤ lvr(K), for every body K (where c > 0 is an absolute constant). This result improves the former best known lower bound, of order [ver formula en el original]. We study the exact asymptotic behaviour of the largest volume ratio for some natural classes of convex bodies. In particular, if K is the unit ball of an unitary invariant norm in R^dxd (e.g., the unit ball of the p-Schatten class S d p for any 1 ≤ p ≤ ∞), the unit ball of a tensor norm on the product of lp spaces or K is unconditional, we show that lvr(K) behaves as the square root of the dimension of the ambient space. We also analyse the problem of estimating the volume ratio between projections of two bodies in R^n onto subspaces of dimension proportional to n. [fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original].
Fil: Merzbacher, Diego Mariano. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.