Razón de volumen entre cuerpos convexos - Merzbacher, Diego Mariano (2019)
Esta tesis tiene como objeto contribuir al estudio de algunos problemas de análisis geométrico asintótico relativos a aproximaciones volumétricas de un cuerpo convexo mediante imágenes afines de otro. Dado un cuerpo convexo K ⊂ R^n con baricentro en el origen, mostramos que existe un símplice S ⊂ K que tiene también baricentro en el origen tal que (|S|/|K|)^ ̄1/n ≥ c/√n , donde c > 0 es una constante absoluta y |·| denota la medida de Lebesgue. Conseguimos esto usando técnicas de geometría estocástica. Más precisamente, si K está en posición isotrópica, presentamos un método para encontrar símplices centrados verificando la cota antes mencionada que funciona con probabilidad extremadamente alta. Por dualidad, dado un cuerpo convexo K ⊂ R^n mostramos que existe un símplice S que contiene a K con el mismo baricentro tal que (|S|/|K|)^1/n ≤ d√n , para alguna constante absoluta d > 0. Salvo por la constante la estimación no puede ser mejorada. Defimos la máxima razón de volumen de un cuerpo convexo K ⊂ R^n como lvr(K) : = supL⊂R^n vr(K, L) , donde el supremo se toma sobre todos los cuerpos convexos L. Probamos la siguiente cota que resulta ajustada en general: c√n ≤ lvr(K), para todo cuerpo K (donde c > 0 es una constante absoluta). Este resultado mejora la cota anteriormente conocida que es del [ver formula en el original]. Estudiamos el comportamiento asintótico exacto para algunas clases naturales de cuerpos convexos. En particular, si K es la bola unitaria de una norma unitariamente invariante en R^dxd (e.g., la bola unidad de la clase p-Schatten para 1 ≤ p ≤ ∞), la bola unidad de una norma tensorial en el producto de espacios lp o K un cuerpo incondicional, probamos que lvr(K) se comporta como la raíz cuadrada de la dimensión del espacio ambiente También analizamos el problema de estimar la razón de volumen entre proyecciones de dos cuerpos convexos en R^n en subespacios de dimensión proporcional a n. [fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original].