Resolución eficiente de ciertos sistemas no lineales derivados de ecuaciones diferenciales

• Autores: Dratman, Ezequiel
• Año de publicación: 2010
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Matera, Guillermo
• Materia: PROBLEMAS DE FRONTERA; DIFERENCIAS FINITAS; CONDICION DE BORDE DE TIPO NEUMANN; SOLUCIONES ESTACIONARIAS; CONTINUACION HOMOTOPICA; RESOLUCION DE SISTEMAS NO LINEALES; NUMERO DE CONDICION; COMPLEJIDAD ALGORITMICA; TWO-POINT BOUNDARY; VALUE PROBLEM; FINITE DIFFERENCES; NEUMANN BOUNDARY CONDITION; STATIONARY SOLUTION; HOMOTOPY CONTINUATION; NONLINEAR SYSTEM SOLVING; CONDITION NUMBER; COMPLEXITY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En este trabajo estudiamos las soluciones estacionarias positivas de una discretización estándar, por medio de diferencias finitas, de la ecuación del calor semilineal con condiciones de borde no lineales de tipo Neumann. Demostramos que, si la difusión es suficientemente grande o suficientemente chica, en comparación con el flujo en los bordes, entonces existe una unica solución de dicha discretización. Esta solución aproxima la unica solución estacionaria positiva de la ecuación “continua”. Además, exhibimos un algoritmo que calcula una ε-aproximación de dicha solución mediante métodos de continuación. El costo de nuestro algoritmo es lineal en el número de nodos involucrados en la discretización y el logaritmo del número de dígitos de aproximación requeridos. En los casos restantes probamos que existen soluciones espurias. Estos resultados nos permiten obtener el panorama global de la comparación entre las soluciones estacionarias del problema diferencial en consideración y su discretización.
We study the positive stationary solutions of a standard finite-difference discretization of the semilinear heat equation with nonlinear Neumann bound- ary conditions. We prove that, if the diffusion is large enough or small enough, compared with the flux in the boundary, there exists a unique solution of such a discretization, which approximates the unique positive stationary solution of the “continuous” equation. Furthermore, we exhibit an algorithm computing an ε-approximation of such a solution by means of a homotopy continuation method. The cost of our algorithm is linear in the number of nodes involved in the discretization and the logarithm of the number of digits of approximation required. In the remaining cases we prove that there exist spurious solutions. From these results we obtain a complete outlook of the comparison between the stationary solutions of the differential problem under consideration and its discretization.
Fil: Dratman, Ezequiel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.