Topología algebraica de espacios topológicos finitos y aplicaciones

• Autores: Barmak, Jonathan Ariel
• Año de publicación: 2009
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Minian, Elías Gabriel
• Materia: ESPACIOS TOPOLOGICOS FINITOS; COMPLEJOS SIMPLICIALES; TIPOS HOMOTOPICOS; EQUIVALENCIAS DEBILES; HOMOTOPIA SIMPLE; COLAPSOS; FINITE TOPOLOGICAL SPACES; SIMPLICIAL COMPLEXES; HOMOTOPY TYPES; WEAK HOMOTOPY EQUIVALENCES; SIMPLE HOMOTOPY; COLLAPSES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

El objetivo principal de esta Tesis es estudiar y profundizar el desarrollo de la teoría de espacios topológicos finitos e investigar sus aplicaciones a la teoría de homotopía y homotopía simple de poliedros y espacios topológicos más generales. Utilizamos en particular varios de los resultados obtenidos para analizar dos conjeturas abiertas muy importantes de topología algebraica y geométrica: La conjetura de Quillen sobre el poset de p-subgrupos de un grupo finito y la conjetura geométrica de Andrews-Curtis. Los tipos homotópicos de espacios finitos pueden ser descriptos a través de movimientos elementales que consisten en agregar o quitar un tipo especial de puntos a los espacios, llamados beat points. Por otro lado, es más importante comprender los tipos homotópicos débiles de espacios finitos, ya que estos se corresponden con los tipos homotópicos de los poliedros asociados. Un acercamiento a la resolución de este problema viene dado por los puntos que denominamos weak points. Estos puntos dan lugar a una noción de colapso entre espacios finitos que se corresponde exactamente con el concepto de colapso simplicial de los complejos asociados. De este modo obtenemos una correspondencia entre los tipos homotópicos simples de espacios finitos y los de complejos simpliciales finitos. Este resultado fundamental nos permite estudiar problemas geométricos conocidos desde una nueva óptica, utilizando toda la maquinaria combinatoria y topológica propia de los espacios finitos. La conjetura de Quillen sobre el poset de p-subgrupos investiga la relación entre las propiedades algebraicas de un grupo finito y las propiedades topológicas de un poliedro asociado al grupo. Por medio de nuestros resultados, veremos que esta conjetura puede ser reformulada y analizada en términos puramente topológicos, utilizando homotopía simple equivariante. La conjetura de Andrews-Curtis es una de las conjeturas más importantes de topología geométrica y está muy relacionada con la conjetura de Zeeman, y, por lo tanto, con la conjetura de Poincaré. Como consecuencia de la demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré, se deduce que esta conjetura es verdadera para ciertos complejos, llamados standard spines, pero el problema todavía permanece abierto para los poliedros de dimensión 2 en general. Utilizando los resultados desarrollados en esta Tesis extenderemos sustancialmente la clase de complejos para los cuales la conjetura se sabe cierta.
The main goal of this Thesis is to study and to delve deeper into the development of the theory of finite spaces and to investigate their applications to the homotopy theory and simple homotopy theory of polyhedra and general topological spaces. We use, in particular, some of the results that we obtain, to analize two important open conjectures of algebraic and geometric topology: Quillen’s conjecture on the poset of p-subgroups of a group and the geometric Andrews-Curtis conjecture. Homotopy types of finite spaces can be described through elemental moves which consist in adding or removing a particular kind of points from the spaces, called beat points. On the other hand, it is more important to understand the weak homotopy types of finite spaces, since they correspond to the homotopy types of the associated polyhedra. One step in this direction is given by the points that we called weak points. These points lead to a notion of collapse of finite spaces which corresponds exactly to the concept of simplicial collapse of the associated simplicial complexes. In this way we obtain a correspondence between simple homotopy types of finite spaces and of simplicial complexes. This fundamental result allows us to study well-known geometrical problems from a new point of view, using all the combinatorial and topological machinery proper of finite spaces. Quillen’s conjecture on the poset of p-subgroups of a group investigates the relationship between algebraic properties of a finite group and topological properties of a polyhedron associated to the group. As an application of our results, we will see that this conjecture can be restated and analized in purely topological terms, using equivariant simple homotopy theory. The Andrews-Curtis conjecture is one of the most important conjectures in geometric topology and it is closely related to Zeeman’s conjecture, and, therefore, to Poincaré conjecture. As a consequence of Perelman’s proof of Poincar´e conjecture, one deduces that this conjecture is true for some complexes called standard spines, but the problem is still open for general polyhedra of dimension 2. With the results developed in this Thesis we substantially extend the class of complexes for which the conjecture is known to be true.
Fil: Barmak, Jonathan Ariel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.