Topología algebraica de espacios topológicos finitos y aplicaciones - Barmak, Jonathan Ariel (2009)
El objetivo principal de esta Tesis es estudiar y profundizar el desarrollo de la teoría de espacios topológicos finitos e investigar sus aplicaciones a la teoría de homotopía y homotopía simple de poliedros y espacios topológicos más generales. Utilizamos en particular varios de los resultados obtenidos para analizar dos conjeturas abiertas muy importantes de topología algebraica y geométrica: La conjetura de Quillen sobre el poset de p-subgrupos de un grupo finito y la conjetura geométrica de Andrews-Curtis. Los tipos homotópicos de espacios finitos pueden ser descriptos a través de movimientos elementales que consisten en agregar o quitar un tipo especial de puntos a los espacios, llamados beat points. Por otro lado, es más importante comprender los tipos homotópicos débiles de espacios finitos, ya que estos se corresponden con los tipos homotópicos de los poliedros asociados. Un acercamiento a la resolución de este problema viene dado por los puntos que denominamos weak points. Estos puntos dan lugar a una noción de colapso entre espacios finitos que se corresponde exactamente con el concepto de colapso simplicial de los complejos asociados. De este modo obtenemos una correspondencia entre los tipos homotópicos simples de espacios finitos y los de complejos simpliciales finitos. Este resultado fundamental nos permite estudiar problemas geométricos conocidos desde una nueva óptica, utilizando toda la maquinaria combinatoria y topológica propia de los espacios finitos. La conjetura de Quillen sobre el poset de p-subgrupos investiga la relación entre las propiedades algebraicas de un grupo finito y las propiedades topológicas de un poliedro asociado al grupo. Por medio de nuestros resultados, veremos que esta conjetura puede ser reformulada y analizada en términos puramente topológicos, utilizando homotopía simple equivariante. La conjetura de Andrews-Curtis es una de las conjeturas más importantes de topología geométrica y está muy relacionada con la conjetura de Zeeman, y, por lo tanto, con la conjetura de Poincaré. Como consecuencia de la demostración de Perelman de la conjetura de Poincaré, se deduce que esta conjetura es verdadera para ciertos complejos, llamados standard spines, pero el problema todavía permanece abierto para los poliedros de dimensión 2 en general. Utilizando los resultados desarrollados en esta Tesis extenderemos sustancialmente la clase de complejos para los cuales la conjetura se sabe cierta.