Métodos simbólicos para sistemas de ecuaciones algebraico-diferenciales

• Autores: D'Alfonso, María Elisabet
• Año de publicación: 2006
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Solernó, Pablo Luis
• Materia: ALGEBRA DIFERENCIAL; REPRESENTACION RESOLVENTE; TEORIA DE ELIMINACION; ALGORITMO PROBABILISTICO; STRAIGHT-LINE PROGRAMS; INDICE DE DIFERENCIACION; FUNCION DE HILBERT-KOLCHIN DIFERENCIAL; DIFFERENTIAL ALGEBRA; RESOLVENT REPRESENTATION; ELIMINATION THEORY; PROBABILISTIC ALGORITHMS; STRAIGHT-LINE PROGRAMS; DIFFERENTIATION INDEX; DIFFERENTIAL HILBERT-KOLCHIN FUNCTION
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Esta tesis está dedicada al estudio de una clase particular de sistemas genéricos de ecuaciones algebro-diferenciales ordinarias que surgen en la teorıa de control no lineal pero que, además, pueden considerarse como ecuaciones que definen el gráfico de un morfismo diferencial o, simplemente, como una familia de ecuaciones polinomiales con un miembro genérico. Nos concentramos principalmente en una presentación alternativa de estos sistemas, la representación resolvente, introducida en el contexto diferencial por J. F. Ritt. Esta representación puede ser interpretada como el análogo diferencial del “shape lemma”, una construcción bien conocida de la geometría algebraica, o del elemento primitivo de extensiones separables de cuerpos o del vector cıclico de sistemas diferenciales lineales de primer orden, y está dada por la codificación de los ceros del sistema por los de una única ecuación polinomial diferencial, vía una equivalencia birracional. Encontramos cotas superiores para el orden y el grado de los polinomios involucrados en dicha representación, en términos del grado de una variedad algebraica intrınseca definida a partir de las derivadas, hasta un orden preestablecido, de las ecuaciones del sistema original, y mostramos con un ejemplo que estas cotas son óptimas. También exhibimos un algoritmo probabilístico que calcula esta representación resolvente en tiempo polinomial en los parámetros sintácticos naturales y en el grado de la variedad mencionada. Nuestro enfoque conduce a nuevos resultados adicionales para los sistemas genéricos considerados, concerniendo dos invariantes discretos bien conocidos: el índice de diferenciación y la función de Hilbert-Kolchin diferencial. Primero, damos una definición precisa y puramente algebraica del índice de diferenciación y mostramos que la función de Hilbert-Kolchin siempre coincide con el polinomio asociado. Segundo, mostramos un algoritmo probabilístico que calcula estos invariantes en tiempo polinomial. Por último, establecemos algunos resultados cuantitativos y algorítmicos relativos a bases de trascendencia diferenciales y a variables ımplicitas y libres determinadas por el índice.
This thesis is devoted to the study of a particular class of generic ordinary differential algebraic equations systems, arising in nonlinear control theory, but that can be considered also as the equations defining the graph of a differential morphism or, simply, as a family of differential polynomial equations with a generic member. We mainly focus on an alternative presentation for these systems, the resolvent representation, introduced in the differential context by J.F. Ritt. This representation may be considered as the differential analogue of the well-known shape lemma from algebraic geometry or of the primitive element of separable field extensions or of the cyclic vector for first-order linear differential equations, and is given by the encoding, via a birational equivalence, of the zeros of the differential system of equations with the zeros of a single polynomial differential equation. We show upper bounds for the order and the degree of the polynomials involved in this representation, in terms of the degree of an intrinsic algebraic variety defined from the derivatives of the original equations up to a preestablished order, and we show with an example that these upper bounds are optimal. We also exhibit a probabilistic algorithm which computes this resolvent representation within time polynomial in the natural syntactic parameters and the degree of the variety above mentioned. Our approach leads us to additional new results for the differential systems we consider, concerning two wellknown discrete invariants: the differentiation index and the Hilbert-Kolchin function. The results are as follows. First, we give a precise and purely algebraic definition of differentiation index and prove that the differential Hilbert-Kolchin function always coincides with its associated polynomial. Second, we give a probabilistic polynomial-time algorithm for the computation of these two invariants. Finally, some quantitative and algorithmic results concerning differential transcendence bases and implicit and free variables determined by the index are established.
Fil: D'Alfonso, María Elisabet. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.