Clasificación homotópica de álgebras de camino de Leavitt simples puramente infinitas

• Autores: Montero, Diego
• Año de publicación: 2019
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cortiñas, Guillermo Horacio
• Materia: K-TEORIA ALGEBRAICA BIVARIANTE; CLASIFICACION HOMOTOPICA; ALGEBRAS DE CAMINO DE LEAVITT; ALGEBRAS SIMPLES PURAMENTE INFINITAS; TEOREMA DE COEFICIENTES UNIVERSALES; BIVARIANT ALGEBRAIC K-THEORY; HOMOTOPY CLASSIFICATION; LEAVITT PATH ALGEBRA; PURELY INFINITE SIMPLE ALGEBRA; UNIVERSAL COEFFICIENT THEOREM
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis investigamos en qué medida las teorías de homología escisivas, invariantes por homotopía y matricialmente estables nos ayudan a distinguir dos algebras de camino de Leavitt L(E) y L(F) de grafos E y F sobre un anillo conmutativo l. Este trabajo está dividido en dos partes. En la primera (Capítulo 2) consideramos algebras de camino de Leavitt de grafos generales sobre anillos conmutativos arbitrarios. La K-teoria algebraica bivariante kk es la teoría de homología universal con respecto a las propiedades mencionadas; probamos un teorema de estructura para algebras de camino de Leavitt unitales en kk.. Mostramos que bajo leves hipótesis en el anillo l, para un grafo E con finitos vértices y matriz de incidencia reducida AE, la estructura de L(E) depende solamente en las clases de isomorfía del conúcleo de la matriz I − AE y el de su transpuesta, que son respectivamente los grupos KH^1 (L(E)) = kk−1(L(E), l) y KH0(L(E)) = kk(l, L(E)). Por tanto, si L(E) y L(F) son algebras de Leavitt unitales tales que KH0(L(E)) ≅ KH0(L(F)) y KH^1(L(E)) ≅ KH^1(L(F)) entonces ninguna teoría de homología con las tres propiedades mencionadas puede distinguirlas. Además probamos que, para álgebras de camino de Leavitt, kk tiene varias propiedades similares a las que la K-teoría bivariante de Kasparov tiene para C∗-algebras de grafo, incluyendo análogos a los Teoremas de coeficientes universales y de Kunneth de Rosenberg y Schochet. En la segunda parte (capítulo 3) abordamos el problema de clasificación de álgebras de camino de Leavitt simples puramente infinitas de grafos finitos sobre un cuerpo l. Es un problema abierto determinar cuando el par (K0(L(E)), [1L(E)]), que consiste del grupo de Grothendieck junto con la clase [1L(E)] de la identidad, es un invariante completo para la clasificación, a menos de isomorfismos, de álgebras de camino de Leavitt de grafos finitos ́que son simples puramente infinitas. Nosotros mostramos que (K0(L(E)), [1L(E)]) es un invariante completo para el problema de clasificación de dichas algebras a menos de equivalencia homotopica polinomial. Para esto, desarrollamos a un más el estudio de la K-teoría algebraica bivariante de algebras de Leavitt iniciada en la parte previa y obtenemos otros resultados de interés [fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original].
In this thesis we investigate to what extent homotopy invariant, excisive and matrix stable homology theories help one distinguish between the Leavitt path algebras L(E) and L(F) of graphs E and F over a commutative ground ring l. This work is divided in two parts. In the first one (Chapter 2) we consider Leavitt path algebras of general graphs over general ground rings. Bivariant algebraic K-theory kk is the universal homology theory with the properties above; we prove a structure theorem for unital Leavitt path algebras in kk. We show that under very mild assumptions on l, for a graph E with finitely many vertices and reduced incidence matrix I-AE, the structure of L(E) depends only on the isomorphism classes of the cokernels of the matrix I−AE and of its transpose, which are respectively the kk groups KH^1 (L(E)) = kk−1(L(E), l) and KH0(L(E)) = kk(l, L(E)). Hence if L(E) and L(F) are unital Leavitt path algebras such that KH0(L(E)) ≅ KH0(L(F)) and KH^1(L(E)) ≅ KH^1(L(F)) then no homology theory with the above properties can distinguish them. We also prove that for Leavitt path algebras, kk has several properties similar to those that Kasparov’s bivariant K-theory has for C∗-graph algebras, including analogues of the Universal coefficient and Kunneth theorems of Rosenberg and Schochet. In the second part (Chapter 3) we address the classification problem for purely infinite simple Leavitt path algebras of finite graphs over a field l. There is an open question which asks whether the pair (K0(L(E)), [1L(E)]), consisting of the Grothendieck group together with the class [1L(E)] of the identity, is a complete invariant for the classification, up to algebra isomorphism, of those Leavitt path algebras of finite graphs which are purely infinite simple. We show that (K0(L(E)), [1L(E)]) is a complete invariant for the classification of such algebras up to polynomial homotopy equivalence. To prove this we further develop the study of bivariant algebraic K-theory of Leavitt path algebras started in the previous part and obtain several other results of independent interest.[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]
Fil: Montero, Diego. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.