Categorías de K-teoría algebraica bivariante y un espectro para la K-teoría algebraica bivariante G-equivariante

• Autores: Rodríguez Cirone, Emanuel Darío
• Año de publicación: 2017
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cortiñas, Guillermo Horacio
• Materia: K-TEORIA ALGEBRAICA BIVARIANTE; TEORIAS DE HOMOLOGIA BIVARIANTES; ESPECTROS DE K-TEORIA BIVARIANTE; TEORIA DE HOMOTOPIA DE ALGEBRAS; CATEGORIAS TRIANGULADAS; BIVARIANT ALGEBRAIC K-THEORY; BIVARIANT HOMOLOGY THEORIES; BIVARIANT K-THEORY SPECTRA; HOMOTOPY THEORY OF ALGEBRAS; TRIANGULATED CATEGORIES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Este trabajo se enfoca en el estudio de K-teorías algebraicas bivariantes universales. Cortinas y Thom construyeron en [2] una ˜K-teoría bivariante, invariante por homotopía,escisiva, M∞-estable y universal en la categoría Algl de algebras sobre un anillo unital l. Más precisamente, construyeron una categoría triangulada kk junto con un funtor j : Algl→ kk que verifica: 1. j manda morfismos (polinomialmente) homotopicos en morfismos iguales; 2. j manda sucesiones exactas cortas en Algl que se parten como sucesiones de l-modulos en triángulos distinguidos en kk; 3. j(A → M∞A) es un isomorfismo, para toda algebra A. El funtor j es universal en el sentido de que cualquier otro functor Algl→ T con lasmismas propiedades —donde T es una categoría triangulada— se factoriza por j demanera única. Independientemente de [2], Garkusha construyó en [6] distintas teoríasde homología bivariantes, invariantes por homotopía, escisivas y universales en Algl. Todas estas teorías verifican (1) y (2), pero satisfacen condiciones de estabilidad distintasde (3). Los metodos usados por Garkusha son bien distintos de los usados por Cortinas-Thom: el primero construye sus categorías de K-teoría bivariante derivandouna categoría de Brown mientras que los segundos dan una descripcion más explícitade la categoría kk en términos de clases de homotopía de morfismos de ind-álgebras. Enesta tesis combinamos resultados de [5] con ideas desarrolladas por Cortinas-Thom en [2] y damos nuevas descripciones de las categorías de K-teoría bivariante definidas por Garkusha en [6]. Nuestra construccion de la categoría de homotopía estable por lazossigue de cerca a la construccion hecha en [3, Section 6.3] en el contexto topológico. Enel camino, calculamos los grupos de homotopía del espacio de morfismos HomAlgk(A, B∆)para cualquier par de algebras A y B, generalizando [2, Theorem 3.3.2]. Como aplicaciónde esto último, damos una demostración simplificada de [5, Comparison Theorem A] sin usar localizacion de Bousfield de categorías de modelos. Por último, usando el espectrode K-teoría bivariante definido por Garkusha en [5], construímos un espectro simplicialque representa a la K-teoría algebraica bivariante G-equivariante kkG definida por Eugenia Ellis en [4]. Ademas, mostramos que el teorema de Green-Julg [4, Theorem 5.2.1] y la adjuncion entre inducción y restricción [4, Theorem 6.14] se levantan a equivalenciasdebiles de espectros.
This work is focused on the study of universal bivariant algebraic K-theories. Cortiñas and Thom constructed in [2] a universal bivariant, homotopy invariant, excisive and M∞-stable homology theory in the category Algl of algebras over a unital ring l. More precisely,they constructed a triangulated category kk together with a functor j : Algl→ kkthat has the following properties: 1. j sends (polynomially) homotopic morphisms to the same morphism; 2. j sends short exact sequences in Algl that split in the category of l-modules todistinguished triangles in kk; 3. j(A → M∞A) is an isomorphism, for any algebra A. The functor j is universal in the sense that any other functor Algl→ T with the aboveproperties —where T is a triangulated category— factors uniquely trough j. Independentlyof [2], Garkusha constructed in [6] various universal bivariant, homotopy invariantand excisive homology theories in Algl. All these theories have properties (1) and (2), butthey satisfy different stability conditions instead of (3). The methods used by Garkushaare very different from the ones used by Cortinas-Thom: the former constructs his bivari- ˜ant K-theory categories by means of deriving a Brown category and the latter give a moreexplicit description of kk in terms of homotopy classes of morphisms of ind-algebras. In this work we combine results from [5] with the ideas developed by Cortinas-Thomin [2] to give new descriptions of the bivariant K-theory categories defined by Garkushain [6]. Our construction of the loop-stable homotopy category closely follows that ofthe suspension-stable homotopy category given in [3, Section 6.3] in the topological setting. Along the way, we compute the homotopy groups of the simplicial mapping space HomAlgk(A, B∆) for any pair of algebras A and B, generalizing [2, Theorem 3.3.2]. As anapplication of the latter, we give a simplified proof of [5, Comparison Theorem A] thatavoids the use of Bousfield localization of model categories. Finally, using the bivariant K-theory spectrum defined by Garkusha in [5], we construct a simplicial spectrum thatrepresents the G-equivariant bivariant algebraic K-theory kkG defined by Eugenia Ellisin [4]. Moreover, we show that the Green-Julg theorem [4, Theorem 5.2.1] and the adjunctionbetween induction and restriction [4, Theorem 6.14] lift to weak equivalences ofspectra.
Fil: Rodríguez Cirone, Emanuel Darío. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.