K-teoría hermitiana algebraica bivariante.

• Autores: Vega, Santiago Javier
• Año de publicación: 2021
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cortiñas, Guillermo Horacio
• Materia: K-TEORIA HERMITIANA ALGEBRAICA; TEOREMA FUNDAMENTAL DE KAROUBI; K-TEORIA HERMITIANA HOMOTOPICA; K-TEORIA ALGEBRAICA BIVARIANTE; GRUPOS BIVARIANTES DE WITT; HERMITIAN ALGEBRAIC K-THEORY; KAROUBI'S FUNDAMENTAL THEOREM; HOMOTOPY HERMITIAN K-THEORY; BIVARIANT ALGEBRAIC K-THEORY; BIVARIANT WITT GROUPS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]Consideremos un anillo conmutativo l con involución con un elemento λ ∈ l tal que λ+λ∗ = 1; sea Alg∗l la categoría de l-algebras con involución compatible con la de l que llamamos ∗-algebras. En esta tesis desarrollamos una categoría triangulada kk^h y un funtor j^h : Alg∗l → kk^h que llamamos K-teoría hermitiana algebraica bivariante; el funtor j^h satisface invarianza homotopica, estabilidad matricial y hermitiana y es una teoría de homología escisiva para extensiones que se parten linealmente. También definimos una versión invariante homotopica estilo Weibel de la K-teoriıa hermitiana que notamos como K H^h∗. Mostramos que la categorıa kk^h recupera K H^h0 como funtor representable homkkh (l, A) ∼= K H^h0(A). Construimos funtores εU y εV que se corresponden con desuspensiones de los funtores U’ y V’ en el Teorema Fundamental de Karoubi: para R ∈ Alg∗l unital hay un elemento θ0 ∈ K^h2 ((U^r2)R) cuyo producto cup induce un isomorfismo εK^h∗ (V’(R)) ∼= −εK^h∗+1(U’(R)). Probamos una adjunción entre kk^h y la K-teoria algebraica bivariante kk definida por Cortiñas y Thom y la usamos para probar una versión del teorema de Karoubi en kk^h : el producto con la imagen de θ0 in KH^h0 (U^2 l) induce un isomorfismo en kk^h J^h (εV A) ∼= Ωj^h (−εUA) para todo A ∈ Alg∗l. Esto nos permite obtener una versión bivariante homotópica de la clásica sucesión de 12 términos de Karoubi para la K-teoría hermitiana.[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]
[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]Consider a commutative ring l with involution with an element λ ∈ l such that λ+λ∗ = 1; write Alg∗l for the category of l-algebras with involution compatible with that of l, which we call ∗-algebras. In this thesis we develop a triangulated category kk^h and a functor j^h : Alg∗l → kk^h which we call bivariant algebraic hermitian K- theory; the functor j^h satisfies homotopy invariance, matrix and hermitian stability and is an excisive homology theory for extensions which are linearly split. We also define a Weibel style homotopy invariant hermitian K-theory which we denote as K H^h∗. We show that the category kk^h recovers K H^h0 as a representable functor homkkh (l, A) ∼= K H^h0(A). We construct functors εU and εV which correspond to desuspensions of the functors U’ and V’ in Karoubi’s Fundamental Theorem: for a unital R ∈ Alg∗l there is an element θ0 ∈ K^h2 (U^r2 R) which the cup product induces an isomorphism εK^h∗ (V’(R)) ∼= −εK^h∗+1(U’(R)). We prove an adjunction between kk^h and the bivariant algebraic K-theory kk as defined by Cortiñas and Thom and use it to prove a version of Karoubi’s theorem in kk^h : the product with the image of θ0 in KH^h0 (U^2 l) induces an isomorphism in kk^h J^h (εV A) ∼= Ωj^h (−εUA) for any A ∈ Alg∗l. This allows us to obtain a bivariant homotopic version of the classical 12-term exact sequence of Karoubi for hermitian K-theory.[fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]
Fil: Vega, Santiago Javier. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.