Categorías de K-teoría algebraica bivariante y un espectro para la K-teoría algebraica bivariante G-equivariante - Rodríguez Cirone, Emanuel Darío (2017)
Este trabajo se enfoca en el estudio de K-teorías algebraicas bivariantes universales. Cortinas y Thom construyeron en [2] una ˜K-teoría bivariante, invariante por homotopía,escisiva, M∞-estable y universal en la categoría Algl de algebras sobre un anillo unital l. Más precisamente, construyeron una categoría triangulada kk junto con un funtor j : Algl→ kk que verifica: 1. j manda morfismos (polinomialmente) homotopicos en morfismos iguales; 2. j manda sucesiones exactas cortas en Algl que se parten como sucesiones de l-modulos en triángulos distinguidos en kk; 3. j(A → M∞A) es un isomorfismo, para toda algebra A. El funtor j es universal en el sentido de que cualquier otro functor Algl→ T con lasmismas propiedades —donde T es una categoría triangulada— se factoriza por j demanera única. Independientemente de [2], Garkusha construyó en [6] distintas teoríasde homología bivariantes, invariantes por homotopía, escisivas y universales en Algl. Todas estas teorías verifican (1) y (2), pero satisfacen condiciones de estabilidad distintasde (3). Los metodos usados por Garkusha son bien distintos de los usados por Cortinas-Thom: el primero construye sus categorías de K-teoría bivariante derivandouna categoría de Brown mientras que los segundos dan una descripcion más explícitade la categoría kk en términos de clases de homotopía de morfismos de ind-álgebras. Enesta tesis combinamos resultados de [5] con ideas desarrolladas por Cortinas-Thom en [2] y damos nuevas descripciones de las categorías de K-teoría bivariante definidas por Garkusha en [6]. Nuestra construccion de la categoría de homotopía estable por lazossigue de cerca a la construccion hecha en [3, Section 6.3] en el contexto topológico. Enel camino, calculamos los grupos de homotopía del espacio de morfismos HomAlgk(A, B∆)para cualquier par de algebras A y B, generalizando [2, Theorem 3.3.2]. Como aplicaciónde esto último, damos una demostración simplificada de [5, Comparison Theorem A] sin usar localizacion de Bousfield de categorías de modelos. Por último, usando el espectrode K-teoría bivariante definido por Garkusha en [5], construímos un espectro simplicialque representa a la K-teoría algebraica bivariante G-equivariante kkG definida por Eugenia Ellis en [4]. Ademas, mostramos que el teorema de Green-Julg [4, Theorem 5.2.1] y la adjuncion entre inducción y restricción [4, Theorem 6.14] se levantan a equivalenciasdebiles de espectros.