Caracterización de ciertos marcos en espacios de Hilbert vía subespacios invariantes por dos operadores shift y ciclicidad en espacios tipo Dirichlet - Aguilera Aguilera, Alejandra Patricia (2023)
En esta tesis se estudia el problema de encontrar condiciones sobre dos operadores lineales y acotados T y L que conmutan entre sí y actúan en un espacio de Hilbert separable H, y sobre un conjunto de vectores finito o numerable viieI cH para que el sistema de iteraciones TkLjvi forme un marco de H. Las condiciones obtenidas se basan en establecer una correspondencia vía un isomorfismo entre cada marco de la forma anterior y un marco “canónico” que resulta ser un marco de Parseval de algún subespacio cerrado N de L2 (T, K), donde K es un espacio de Hardy vectorial. Motivados por lo anterior, el segundo problema que se estudia en este trabajo es buscar una descripción explícita de los subespacios de L2 (T, K) que están generados por marcos canónicos. Esto se enmarca en el problema de caracterizar los subespacios invariantes por operadores lineales y acotados actuando en espacios de Hilbert. Para ello se estudian resultados clásicos de Beurling, Helson y Halmos, sobre los subespacios del espacio de Hardy escalar H2, el espacio L2 (T) y el espacio de Hardy vectorial H2 (T, K) que son invariantes por los operadores shift unilateral, shift bilateral y el shift unilateral con multiplicidad, respectivamente. Por último, consideramos una familia de espacios de Hilbert de funciones analíticas con núcleo reproductivo que incluyen al espacio de Hardy escalar H2 y damos respuesta a la pregunta de si la función límite de una sucesión convergente de funciones cíclicas (no cíclicas) es cíclica (no cíclica). En particular, demostramos que el conjunto de las funciones outer no es cerrado en la topología de la norma de H2. Por otro lado, damos una relación cuantitativa entre los polinomios aproximantes óptimos de una sucesión de funciones y los polinomios aproximantes óptimos del límite de dicha sucesión en el caso que ésta sea convergente.