Supremo álgebras distributivas : una generalización de las álgebras de Tarski

• Autores: Calomino, Ismael María
• Año de publicación: 2016
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Celani, Sergio
• Materia: Matemáticas; Semirretículos; Distributividad; Dualidades topológicas
• Institución: Universidad Nacional del Sur

En esta tesis estudiamos una variedad particular de semirretículos con un concepto de distributividad. Dichas estructuras fueron estudiadas por Cornish y Hickman en [29] y [35], donde en este último artículo Hickman las llama supremo álgebras distributivas. Otros autores han llamado a éstas álgebras de diferentes maneras. A lo largo de esta memoria, y para mayor simplicidad, las llamaremos DN-álgebras. Nuestro primer objetivo es obtener una representación topológica a través de ciertos espacios sober con una base distinguida de subconjuntos abiertos, compactos y dualmente compactos satisfaciendo una condición adicional. A dichos espacios los hemos llamados DN-espacios. Extendemos esta representación a una dualidad probando que la categoría cuyos objetos son DN-álgebras y morfismos V-semi-homomorfismos es dualmente equivalente a la categoría que tiene como objetos DN-espacios y como morfismos ciertas relaciones binarias. También extendemos esta dualidad a la categoría de las DN-álgebras con homomorfismos. Nuestro segundo objetivo es aplicar dicha dualidad para interpretar topológicamente algunos conceptos algebraicos. Caracterizamos los homomorfiosmos inyectivos y sobreyectivos, los retículos de los filtros, filtros finitamente generados, subálgebras y congruencias. También desarrollamos un nuevo enfoque sobre la existencia de la extensión libre de una DN-álgebra sobre la variedad de los retículos distributivos acotados. Siguiendo la representación dual de los homomorfismos sobreyectivos, presentamos una caracterización de las imágenes homomorfas de una DN-álgebra a través de ciertas familias de subconjuntos saturados básicos irreducibles de su espacio dual dotadas de la menor topología Vietoris. Por otro lado, introducimos una definición alternativa de aniquilador relativo y presentamos algunas nuevas equivalencias de la distributividad. Definimos las clases de las DN-álgebras normales y DN-álgebras p-lineales y estudiamos sus estructuras en término de aniquiladores. Por último, analizamos una clase particular de función entre DN-álgebras para luego estudiar la clase de las DN-álgebras dotadas con un operador modal de necesidad. Obtenemos una representación y dualidad topológica y mostramos algunas aplicaciones.
In this thesis we study a particular variety of semilattices with a concept of distributivity. Such structures were studied by Cornish and Hickman in [29] and [35], in this last article Hickman called them distributive join algebras. Others authors have called these algebras in different ways. Throughout this report, and for simplicity, we will call them DN-algebras. Our first objective is to obtain a topological representation through certain sober spaces with distinguished open, compact and dually compact subsets satisfying an additional condition. We have named these spaces DN-spaces. We extend this representation to a duality proving that the category whose objects are DN-algebras and whose morphisms are _-semi-homomorphisms is dually equivalent to the category whose objects are DN-spaces and whose morphisms are certain binary relations. We also extend this duality to the category of DN-algebras with homomorphisms. Our second objective is to apply this duality to topologically interpreting some algebraic concepts. We characterize injective and surjective homomorphisms, the lattices of filters, fionitely generated filters, subalgebras and congruences. We also develop a new approach to the existence of the free extension of a DN-algebra on the variety of bounded distributive lattices. Following the dual representation of surjective homomorphisms, we present a characterization of homomorphic images of a DN-algebra through certain families of irreducible basic saturated subsets from its dual space which have been equipped with the lower Vietoris topology. On the other hand, we introduce an alternative definition of relative annihilator and we present some new equivalences of the distributivity. We define the classes of normal DN-algebras and p-linear DN-algebras and we study their structures in terms of annihilators. Finally, we analyze a particular kind of function between DN-algebras and then we study the class of DN-algebras equipped with a modal operator of necessity. We get a representation and a topological duality and show some applications.
Fil: Calomino, Ismael María. Universidad Nacional del Sur. Departamento de Matemática; Argentina