Supremo álgebras distributivas : una generalización de las álgebras de Tarski - Calomino, Ismael María (2016)
En esta tesis estudiamos una variedad particular de semirretículos con un concepto de distributividad. Dichas estructuras fueron estudiadas por Cornish y Hickman en [29] y [35], donde en este último artículo Hickman las llama supremo álgebras distributivas. Otros autores han llamado a éstas álgebras de diferentes maneras. A lo largo de esta memoria, y para mayor simplicidad, las llamaremos DN-álgebras. Nuestro primer objetivo es obtener una representación topológica a través de ciertos espacios sober con una base distinguida de subconjuntos abiertos, compactos y dualmente compactos satisfaciendo una condición adicional. A dichos espacios los hemos llamados DN-espacios. Extendemos esta representación a una dualidad probando que la categoría cuyos objetos son DN-álgebras y morfismos V-semi-homomorfismos es dualmente equivalente a la categoría que tiene como objetos DN-espacios y como morfismos ciertas relaciones binarias. También extendemos esta dualidad a la categoría de las DN-álgebras con homomorfismos. Nuestro segundo objetivo es aplicar dicha dualidad para interpretar topológicamente algunos conceptos algebraicos. Caracterizamos los homomorfiosmos inyectivos y sobreyectivos, los retículos de los filtros, filtros finitamente generados, subálgebras y congruencias. También desarrollamos un nuevo enfoque sobre la existencia de la extensión libre de una DN-álgebra sobre la variedad de los retículos distributivos acotados. Siguiendo la representación dual de los homomorfismos sobreyectivos, presentamos una caracterización de las imágenes homomorfas de una DN-álgebra a través de ciertas familias de subconjuntos saturados básicos irreducibles de su espacio dual dotadas de la menor topología Vietoris. Por otro lado, introducimos una definición alternativa de aniquilador relativo y presentamos algunas nuevas equivalencias de la distributividad. Definimos las clases de las DN-álgebras normales y DN-álgebras p-lineales y estudiamos sus estructuras en término de aniquiladores. Por último, analizamos una clase particular de función entre DN-álgebras para luego estudiar la clase de las DN-álgebras dotadas con un operador modal de necesidad. Obtenemos una representación y dualidad topológica y mostramos algunas aplicaciones.