Variedades de álgebras de Lie

• Autores: Barrionuevo, Ana Josefina
• Año de publicación: 2023
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Tirao, Paulo Andrés
• Materia: Super álgebras solubles y nilpotentes; Anillos y álgebras no asociativos; Álgebras de Lie; Rigidez; Conjetura de Vergne; Nilpotente; Variedad; Órbita abierta; Solvable, nilpotent superalgebras; Nonassociative rings and algebras; Lie algebras; Vergne conjecture; Nilpotent; Variety; Open orbit; Rigidity
• Institución: Universidad Nacional de Córdoba

Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2023.
Fil: Barrionuevo, Ana Josefina. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina.
La conjetura de Vergne (1970) establece que no hay álgebras de Lie nilpotentes de dimensión n que sean rígidas en la variedad de álgebras de Lie de dimensión n sobre un cuerpo K, Ln. En esta tesis nos enfocamos en el caso en que el cuerpo K es algebraicamente cerrado. En la primera parte estudiamos en profundidad algunos conceptos básicos y propiedades geométricas de las variedades algebraicas en general, aplicándolas a nuestras variedades de interés. Nos enfocamos principalmente en Ln; dentro de esta, la variedad de álgebras de Lie nilpotentes de dimensión n, Nn; y dentro de la última, las variedades de álgebras de Lie a lo sumo k-pasos nilpotentes de dimensión n, Nn,k. Nn,1 ⊆ Nn,2 ⊆ · · · ⊆ Nn,n−1 ⊆ Nn ⊆ Ln. En este contexto surge naturalmente la pregunta: Dada un álgebra de Lie μ ∈ Nn,k, ¿cuál es la menor variedad en la que μ resulta no rígida? En la segunda parte, introducimos conceptos y herramientas claves para abordar el problema de (no-)rigidez de un álegbra de Lie (nilpotente) en las distintas variedades de álgebras de Lie. Además, las utilizamos para dar una respuesta a la pregunta anterior para algunas familias particulares. Estas son: las álgebras de Lie libres k-pasos nilpotentes en d generadores, las álgebras de Lie de grafos, las álgebras de Lie de Heisenberg y las álgebras de Lie con factor abeliano. Aportando evidencia afirmativa para la Conjetura de Vergne incluso en su versión fuerte. (La versión fuerte establece que no hay álgebras de Lie nilpotentes de dimensión n que sean rígidas en la variedad de álgebras de Lie nilpotentes de dimensión n sobre un cuerpo K, Nn.) Los resultados nombrados forman parte de los trabajos “Deformations and rigidity in varieties of Lie algebra” y “Rigid 2-step graph Lie algebras” escritos en autoría conjunta con Paulo Tirao y Diego Sulca. Por último, bajo el nombre de Invariantes continuos, presentamos una nueva idea de cómo utilizar algunos invariantes clásicos de álgebras para encontrar familias de álgebras rígidas. Esta interpretación nos permite demostrar en pocas líneas algunos resultados también probados en esta tesis con otras herramientas más sofisticadas.
The Vergne conjecture (1970) states that there are no nilpotent Lie algebras of dimension n which are rigid in the variety of n-dimensional Lie algebras over a field K, Ln. In this thesis we focus on the case where the field K is algebraically closed. In the first part we study in depth some basic concepts and geometric properties of algebraic varieties in general, applying them to our varieties of interest. We focus mainly on Ln; within it, the variety of nilpotent Lie algebras of dimension n, Nn; and within the latter, the varieties of nilpotent Lie algebras at most k-steps of dimension n, Nn,k. Nn,1 ⊆ Nn,2 ⊆ · · · ⊆ Nn,n−1 ⊆ Nn ⊆ Ln. In this context the question naturally arises: Given a Lie algebra μ ∈ Nn,k, what is the smallest variety in which μ turns out to be non-rigid? In the second part, we introduce key concepts and tools to address the problem of (non-)rigidity of a (nilpotent) Lie algebra in the different varieties of Lie algebras. In addition, we use them to give an answer to the previous question for some particular families. These are: free k-step nilpotent Lie algebras on d generators, graph Lie algebras, Heisenberg Lie algebras and Lie algebras with abelian factor. They provide affirmative evidence for the Vergne Conjecture even in its strong version. (The strong version states that there are no n-dimensional nilpotent Lie algebras which are rigid in the variety of n-dimensional nilpotent Lie algebras over a field K, Nn.) The named results are part of the papers “Deformations and rigidity in varieties of Lie algebra” and “Rigid 2-step graph Lie algebras” co-authored with Paulo Tirao and Diego Sulca. Finally, under the name of Continuous Invariants, we present a new idea of how to use some classical invariants of algebras to find rigid families of algebras. This interpretation allows us to prove in a few lines some results also proven in this thesis with other more sophisticated tools.
Fil: Barrionuevo, Ana Josefina. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina.