Descomposición monomial y sumabilidad para funciones holomorfas en altas dimensiones

• Autores: Mansilla, Martín Ignacio
• Año de publicación: 2019
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Galicer, Daniel Eric; Muro, Santiago
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

El objetivo de esta tesis es contribuir a la teoría de funciones holomorfas y polinomios homogéneos en varias e infinitas variables. Estudiamos diversos objetos que, de una u otra manera, involucran la sumabilidad de los coeficientes de polinomios homogéneos dependiendo de su norma uniforme. Comparamos las normas uniforme y de coeficientes en espacios de polinomios homogéneos en varias variables complejas. En particular estudiamos el comportamiento asintótico de las constantes de equivalencia entre estas dos normas cuando la cantidad de variables tiende a infinito. Damos una descripción completa del comportamiento asintótico de las constantes de incondicionalidad mixtas en espacios de polinomios homogéneos en finitas variables. Para lograrlo resulta indispensable el estudio que hacemos de los conjuntos de convergencia monomial para estos espacios de polinomios. En este sentido conseguimos un progreso sustancial en la caracterización de dichos conjuntos para el caso de polinomios homogéneos en lr cuando 1 < r ≤ 2, probando una conjetura abierta en el área. Introducimos novedosas descomposiciones en el conjunto de monomios, que son de gran utilidad para atacar problemas de incondicionalidad y sumabilidad permitiendo un manejo adecuado de la dependencia entre el grado de homogeneidad y la cantidad de variables en ciertas desigualdades. Definimos el radio de Bohr mixto extendiendo la noción preexistente de radio de Bohr. Usando dichas descomposiciones mostramos, para todo el espectro de parámetros involucrados, cuál es el comportamiento asintótico de este radio. También gracias a dichas descomposiciones, conseguimos resultados acerca de los conjuntos de convergencia monomial de otras familias de funciones holomorfas. Para Hb(lr), las funciones enteras y acotadas en conjuntos acotados en lr, caracterizamos aquellos conjuntos de convergencia cuando 1 < r ≤ 2. Cuando r > 2 logramos hacerlo para Hb(lr,∞) y damos cotas superiores e inferiores en el caso de Hb(lr). Hacemos un avance significativo para el caso de funciones holomorfas y acotadas en la bola de lr con 1 < r ≤ 2.
This thesis aims to contribute to the theory of holomorphic functions and homogeneous polynomials in several and infinitely many variables. We study several objects that, in one way or another, involve the summability of homogeneous polynomial coefficients depending on their uniform norm. We compare the uniform and the coefficients norms in spaces of homogeneous polynomials in several complex variables. In particular, we study the asymptotic behaviour of the equivalence constants between these two norms when the number of variables goes to infinity. We give a complete description of the asymptotic behaviour of the mixed unconditional constants in spaces of homogeneous polynomials with finite variables. To achieve this it is essential that we study the sets of monomial convergence for these spaces of polynomials. In this sense, we make a substantial progress in the characterization of these sets in the case of homogeneous polynomials on lr when 1 < r ≤ 2 proving an open conjecture in the area. We introduce novel decompositions of the set of monomials, which are very useful to attack problems of unconditionality and summability allowing an adequate management of the dependence between the degree of homogeneity and the number of variables in certain inequalities. We define the mixed Bohr radius extending the preexisting notion of Bohr radius. Using these decompositions we show, for the entire spectrum of parameters involved, the asymptotic behaviour of this radius. Also thanks to these decompositions, we get results for the sets of monomial convergence of other families of holomorphic functions. For Hb(lr), the entire functions and bounded in their bounded sets in lr, we characterize their sets of convergence when 1 < r ≤ 2. When r > 2 we manage to do it for Hb(lr,∞) and give upper and lower bounds in the case of Hb(lr). We make significant progress in the case of holomorphic and bounded functions in the ball of lr with 1 < r ≤ 2.
Fil: Mansilla, Martín Ignacio. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.