Morfismos entre álgebras de funciones holomorfas desde el espectro vectorial

• Autores: Singer, Joaquín Camilo
• Año de publicación: 2021
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Dimant, Verónica Isabel
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En este trabajo estudiamos el espectro vectorial, esto es, el conjunto de morfismos de álgebras no nulos con dominio en una de las siguientes álgebras de funciones holomorfas: Hb(X) (funciones holomorfas de tipo acotado en X), H∞(BX) (funciones holomorfas y acotadas en la bola unidad BX) o Au(BX) (funciones holomorfas y uniformemente continuas en BX) a valores en el álgebra H∞(BY ), donde X e Y son espacios de Banach de dimensión infinita. El estudio de este espectro nos permite relacionar los morfismos entre álgebras de funciones holomorfas con herramientas que son propias del estudio escalar. Principalmente nos centramos en tres aspectos fundamentales: fibras, partes de Gleason y conjuntos cluster. En una primera instancia analizamos el espectro vectorial en su definición general. Establecemos una estructura de dominio de Riemann para Mb,∞(X, BY ) (los morfismos de álgebras continuos y no nulos de Hb(X) en H∞(BY )) sobre H∞(BY , X∗∗) y estudiamos las fibras resultantes. Luego relacionamos este espectro con Mu,∞(BX, BY ) (morfismos de Au(BX) en H∞(BY )) y M∞(BX, BY ) (morfismos de H∞(BX) en H∞(BY )) via la función radio. Completamos nuestro análisis del caso general definiendo la versión vectorial de partes de Gleason y conjuntos Cluster y analizando la relación entre estos conjuntos con las previamente estudiadas fibras. En segunda instancia nos abocamos al estudio de los espectros M∞(Bc0, Bc0) y Mu,∞(Bc0,Bc0) correspondientes a los morfismos entre álgebras de funciones holomorfas en el polidisco infinito. A fin de buscar copias analıticas de una bola infinito dimensional en todas las fibras del espectro M∞(Bc0, Bc0) mejoramos resultados existentes sobre el espectro escalar. El espectro M∞(Bc0) se proyecta naturalmente sobre Bl∞. Extendiendo un resultado de Cole, Gamelin y Johnson y respondiendo una pregunta abierta planteada por Aron, Falco, Garcıa y Maestre probamos que todas las fibras de este espectro contienen una copia analıtica de Bl∞. Construyendo en base a este resultado escalar obtenemos inyecciones analıticas para todas las fibras en el espectro vectorial M∞(Bc0, Bc0). Relacionamos luego esta estructura de las fibras con las partes de Gleason correspondientes a este espectro. Por último estudiamos el espectro Mu,∞(Bl2, Bl2). Nuevamente para conseguir resultados sobre las fibras vectoriales obtenemos primero un resultado sobre las fibras escalares, esta vez para el espectro Mu(Bl2), que nos indica que podemos obtener una copia analıtica de la bola Bl2 en todas las fibras sobre elementos de Bl2 y que la forma de construir estas inyecciones analíticas puede hacerse de manera holomorfa. Con esta construcción obtenemos inyecciones analíticas para las fibras sobre elementos en BH∞(Bl2,l2). Analizamos luego los casos restantes, presentando condiciones para las cuales estas fibras contienen una copia analítica de una bola o resultan conjuntos de un solo elemento. Completa nuestro análisis de este espectro el estudio de los conjuntos cluster definidos previamente, sobre los cuales obtenemos condiciones que aseguran que estos conjuntos contienen estructuras analíticas.
In this thesis we study the vector valued spectrum, that is, the set of non null continuous homomorphisms mapping either Hb(X) (the algebra of holomorphic functions of bounded type on X), H∞(BX) (the algebra of bounded holomorphic functions on the unit ball BX) or Au(BX) (the algebra of holomorphic functions that are uniformly continuous on BX) to H∞(BY), where X and Y are infinite dimensional Banach spaces. The vector valued spectrum allows us to study homomorphisms between algebras of holomorphic functions through aspects that have their analogue in the scalar valued specrum. Our main focus is on three fundamental aspects: fibers, Gleason parts and cluster sets. First we study the vector valued spectrum in the most general case. We estabish a Riemann domain structure for Mb,∞(X, BY ) (the set of non null continuous homomorphisms from Hb(X) to H∞(BY )) over H∞(BY , X∗∗) and look into the resulting fibers. We then relate this spectrum with both Mu,∞(BX, BY ) (the set of non null continuous homomorphisms from Au(BX) to H∞(BY )) and M∞(BX, BY ) (the set of non null continuous homomorphisms from H∞(BX) to H∞(BY )) via the radius function. We round up our analysis for the general case by defining the vector valued version of Gleason parts and Cluster sets and looking into the relationship between these sets and the previously mentioned fibers. Secondly we focus on the spectra M∞(Bc0, Bc0) and Mu,∞(Bc0, Bc0), corresponding of homomorphisms between algebras of holomorphic functions on the infinite dimensionalpolydisk. Aiming to obtain analytic copies of an infinite dimensional ball on every fiber of the spectrum M∞(Bc0, Bc0) we extend existing results regarding the scalar valued case.The (scalar valued) spectrum is naturally projected over B`∞. Improving upon a result from Cole, Gamelin and Johnson and answering an open question presented by Aron, Falco, Garcıa and Maestre we show that every fiber in this spectrum contains an analytic copy of B`∞. Through this result we are able to construct analytical injections for every fiber in the vector valued spectrum M∞(Bc0, Bc0). We then relate the structure of fibers with that of Gleason parts. Finally we study the spectrum Mu,∞(Bl2, Bl2). Again, in order to obtain results regarding the vector valued fibers we first look into the scalar valued case, this time for the spectrum Mu(Bl2). We show that there is analytical injections from the ball Bl2 to any fibers over an element in Bl2 and these analytical injections depend holomorphically on the fiber. Through this result we obtain analytical injections for the fibers over BH∞(Bl2,l2) in the vector valued case. We then look into the remaining fibers, presenting conditions for which these contain an analytic copy of a ball or are singleton sets. Our analysis of this spectrum is completed by looking into its cluster sets, for which we obtain conditions that ensure that they contain analytical structures.
Fil: Singer, Joaquín Camilo. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.