Acoplamientos del modelo SIS con dinámicas de opinión

• Autores: Giambiagi Ferrari, Carlo
• Año de publicación: 2022
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Pinasco, Juan Pablo
• Materia: MODELOS EPIDEMIOLOGICOS; MODELOS BASADOS EN AGENTES; ECUACION DE TIPO BOLTZMANN; ECUACIONES DIFERENCIALES; SOLUCIONES EN MEDIDAS; AGENT-BASED MODELS; EPIDEMIOLOGICAL MODELS; BOLTZMANN-LIKE EQUATIONS; DIFFERENTIAL EQUATIONS; SOLUTIONS IN MEASURE SPACES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En este trabajo se estudiaron problemas de epidemias influenciados por fenómenos sociales. Se plantearon modelos matemáticos en términos de ecuaciones integro diferenciales,y para estas se analizaron cuestiones de existencia, unicidad, dependencia continua, y comportamiento asintótico. Se estudia el acople de dos dinámicas, la de un modelo SIS para la transmisión de una enfermedad, con la de un modelo de opinión donde los individuos cambian sus medidas de prevención en un continuo a consecuencia de la interacción entre ellos y de la evolución de la epidemia. Se plantea un modelo SIS discreto basado en agentes. Cada agente tiene una opinión propia que influye su tasa de contagio. Con una heurıstica despejamos ecuaciones de campo medio para la proporción de infectados y la opinión media de la población. Despejamos los equilibrios y hacemos un análisis de la estabilidad. Se compara las simulaciones de los modelos de agentes con los equilibrios encontrados para verificar la legitimidad de las ecuaciones. El modelo discreto se generaliza con una ecuación cinética de tipo Boltzmann. La existencia y unicidad de soluciones en un espacio de medidas positivas sale utilizando teoremas de punto fijo, y se prueba que las soluciones encontradas efectivamente modelan una dinámica de enfermedad. Luego, se analiza el paso al límite cuando se rescala el tiempo, y se obtiene un sistema de ecuaciones en derivadas parciales de tipo Fokker-Planck, que son más sencillas de trabajar del punto de vista numérico. En la última parte de la tesis se estudian dos generalizaciones, considerando en una la influencia de una campaña gubernamental para implementar medidas de prevención, y en la otra, agregando individuos refractarios a cumplir estas medidas. Para ambas, se vuelven a plantear los modelos discretos de agentes y sus respectivas ecuaciones de campo medio. Luego pasamos a una ecuación de tipo Boltzmann solamente para la dinámica de opinión. La existencia y unicidad de soluciones se obtiene por un método basado en la prueba de Peano de existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias, pero extendido a una ecuación diferencial ordinaria en un espacio de Banach. La idea es construir una poligonal en el espíritu del método de Euler, desplazándose en la dirección del gradiente.
In this work, epidemic problems influenced by social phenomena were studied. The models were build in terms of integro differential equations, and for these we analyzed existence, uniqueness, continued dependence, and asymptotic behavior. The coupling of two dynamics is studied, that of a SIS model for the transmission of a disease, with that of an opinion model where individuals change their prevention measures in a continuum as a result of the interaction between them and the evolution of the epidemic. We proprose a discrete SIS model based on agents. Each agent has their own opinion that influences their contagion rate. With a heuristic, we derive mean-field equations for the proportion of infected and the mean opinion of the population. We solve for the equilibria and do a stability analysis. The simulations of the agent -based models are compared with the equilibria found to verify the legitimacy of the equations. The discrete model is generalized with a Boltzmann-type kinetic equation. The existence and uniqueness of solutions in a space of positive measures is proven using fixed point theorems, and it is proved that the solutions found effectively model the disease dynamic. Then, the passage to the limit is analyzed when the time is rescaled, and a system of Fokker-Planck differential equations is obtained. They are easier to work with from the numerical point of view. In the last part of the thesis two generalizations are studied, considering in one the influence of a government campaign to implement prevention measures, and in the other, adding refractory individuals that do not comply with these measures. For both, the discrete agent models and their respective mean field equations are re-stated. We then move on to a Boltzmann-type equation only for the opinion part of the dynamic. The existence and uniqueness of solutions is obtained by a method based on Peano’s proof of the existence of solutions for differential equations ordinary, but extended to an ordinary differential equation in a Banach space. The idea is to build a polygonal in the spirit of Euler’s method, moving in the direction of the gradient.
Fil: Giambiagi Ferrari, Carlo. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.