Modelos para juegos evolutivos

• Autores: Rodríguez Cartabia, Mauro
• Año de publicación: 2019
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Pinasco, Juan Pablo
• Materia: MODELOS BASADOS EN AGENTES; TEORIA EVOLUTIVA DE JUEGOS; ECUACION DE BOLTZMANN; CAMPO MEDIO; RETARDO; AGENT BASED MODEL; EVOLUTIONARY GAME THEORY; BOLTZMANN EQUATION; MEAN FIELD THEORY; DELAY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis modelamos fenómenos inspirados en la teoría de juegos usando ecuaciones diferenciales. Para esto trabajamos con medidas de probabilidad que describen el estado de una población y analizamos su evolución. En la primera parte usamos un modelo basado en agentes para estudiar el efecto del proceso de aprendizaje de las reglas de un juego en el problema de la distribución de riqueza. Aquí los agentes se enfrentan en un juego de suma cero e intercambian dinero según el resultado y en paralelo modifican su estrategia. Demostramos que la estrategia promedio satisface una ecuación similar a la ecuación del replicador. Además mostramos que, cuando el juego no tiene un equilibrio en estrategias puras, la distribución estacionaria de la riqueza se aproxima a una distribución Gama. En la segunda parte estudiamos teóricamente el problema de la evolución de las estrategias utilizando ideas de la física estadística. Planteamos una ecuación de tipo Boltzmann para modelar la distribución de agentes en el espacio de estrategias cuando el número de agentes tiende a infinito. Demostramos existencia, unicidad y regularidad de la solución de la ecuación de Boltzmann y luego demostramos la existencia de soluciones para las ecuaciones límite que se obtienen cuando el efecto de la interacción tiende a cero. Estudiamos la relación entre los estados estacionarios, los equilibrios del juego original y la convergencia o no a estos. En la última parte de esta tesis planteamos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con retardo donde cada una describe el estado de un agente. Es el paso inicial para modificar la evolución anterior, suponiendo ahora que un agente adapta su estrategia según la historia de interacciones previas. Cuando el número de agentes tiende a infinito obtenemos una ecuación de transporte no lineal para una función con valor en las medidas. Demostramos existencia, unicidad y continuidad respecto del dato inicial y analizamos diferentes situaciones según el tipo de retardo impuesto.
In this thesis we study differential equations related to game theory models.We work with measured values functions describing the distribution of a population of players in the space of strategies and we analyze its evolution. In the first part we consider an agent based model in order to study the wealth distribution problem where the exchange is determined by the result of a symmetric zero sum game. Simultaneously, the agents are learning the optimal way to play, and we derive the associate equations of the evolutive process. We prove that the mean strategy of the population satisfies an equation close to the replicator equation, and we show that the stationary wealth distribution is close to a Gamma distribution whenever the game has no pure strategies equilibria. In the second part we derive a Boltzmann type equation to model the distribution of agents in the space of strategies, in the limit of infinitely many players, by using some ideas from statistical mechanics. We prove the existence, uniqueness and regularity of the solutions to the Boltzmann equations. We study the Fokker-Planck equations obtained as the grazing limit of the Bolzmann equations when the intensity of the interaction goes to zero. Also, we study the relationship between the stationary states and the equilibria of the original game. In the last part we study a delayed system of ordinary differential equations, each one modeling the state of an agent. In the limit of infinitely many agents, we obtain an abstract equation and we prove existence and uniqueness of solutions, and continuous dependence of the solutions on the initial data.
Fil: Rodríguez Cartabia, Mauro. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.