Ecuaciones límite para dinámicas markovianas : vacunación óptima en grafos aleatorios e intercambio de opiniones

• Autores: Ferreyra, Emanuel Javier
• Año de publicación: 2021
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Jonckheere, Matthieu Thimothy Samson
• Materia: GRAFOS ALEATORIOS; PROCESOS MARKOVIANOS; ECUACIONES DIFERENCIALES; MODELOS AGENTES; LIMITE DE ESCALA; CONTROL OPTIMO; RANDOM GRAPHS; MARKOVIAN PROCESSES; DIFFERENTIAL EQUATIONS; AGENT MODELS; SCALE LIMIT; OPTIMAL CONTROL
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis estudiamos dos modelos: uno de propagación de epidemias y vacunación óptima en un grafo aleatorio y otro de intercambio de ideas. Comenzamos explicando los métodos de modelado y prueba de los resultados principales de la tesis. Describimos procesos markovianos con medidas aleatorias de Poisson y mediante propiedades de semi-martingalas probamos la convergencia de las trayectorias en el espacio de Skorokhod, bajo un escalamiento adecuado de las tasas de salto, a un sistema determinístico de ecuaciones diferenciales. El segundo capítulo está dedicado a un modelo epidémico de tipo SIR con vacunación óptima sobre un grafo aleatorio. Obtenemos un sistema infinito y determinístico que reducimos a uno de dimensión finita a través de una versión de la función generadora de la distribución inicial de grados. Posteriormente, mediante el uso de herramientas de la teoría de juegos y de control óptimo planteamos hipótesis muy generales para la existencia de estrategia de vacunación óptima (en un sentido viscoso) dentro de una familia funciones medibles que dependen del grado de los nodos y del tiempo, tanto en el caso individual como el centralizado. Derivamos una fórmula para el tamaño de la epidemia y del valor críıtico R0 que indica si habrá un brote en términos de los parámetros de la enfermedad, las tasas de vacunación y de la conectividad del grafo. El tercero presenta simulaciones de diferentes modelos epidémicos mediante integración numérica junto con un formalismo de modelado de eventos discretos basado en agentes. El cuarto es un modelo de propagación de ideas y análisis de consenso en una población con estructura etaria en la que se consideran nacimientos y muertes. Obtenemos la descripción de un límite fluido que luego caracterizamos con una ecuación en derivadas parciales mediante un método de grazing limit.
In this thesis we study two models: one for diseases propagation and optimal vaccination strategies in a random graph and another of opinion formation. We begin by explaining the modeling methods and the analysis of the main results of the manuscript. We describe Markovian processes with Poisson random measures and through semi-martingale properties we prove the convergence of the trajectories in the Skorokhod space, under a proper scaling of the jump rates, to a deterministic system of differential equations. The second chapter is dedicated to an SIR epidemic model with optimal vaccination over a random graph. We obtain an infinite and deterministic system that we reduce to a finite dimension through a version of the generating function of the initial degree distribution. Later, using tools of game theory and optimal control, we state very general hypotheses for the existence of an optimal vaccination strategy (in a viscous sense) within a family of measurable functions that depend on the degree of nodes and time, both in the individual and in the centralized case. We derive a formula for the size of the epidemic and the critical value R0 that indicates whether there is a breakout in terms of the parameters of the disease, the vaccination rates andthe connectivity of the graph. The third presents simulations of different epidemic models through numerical integration together with an agent-based discrete event modeling formalism. Finally, in the fourth chapter we present a model of opinion formation and consensus analysis in a population with age structure in which births and deaths are considered. We obtain a description of a fluid limit and then we characterize it through a partial differential equation using a grazing limit method.
Fil: Ferreyra, Emanuel Javier. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.