Funciones que alcanzan su norma : operadores lineales, multilineales y polinomios

• Autores: Mazzitelli, Martín Diego
• Año de publicación: 2015
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Carando, Daniel G.; Lassalle, Silvia B.
• Materia: FORMULA INTEGRAL; FUNCIONES QUE ALCANZAN LA NORMA; TEOREMAS DEL TIPO LINDENSTRAUSS Y DEL TIPO BISHOP-PHELPS; PREDUALES DE LORENTZ; INTEGRAL FORMULA; NORM-ATTAINING FUNCTIONS; LINDENSTRAUSS AND BISHOP-PHELPS TYPE-THEOREMS; PREDUALS OF LORENTZ
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

A lo largo de esta tesis, estudiamos problemas relacionados con la densidad de funcionesque alcanzan la norma. Mediante técnicas de linealización a través de productos tensoriales,obtenemos resultados del tipo Lindenstrauss, es decir, de densidad de funciones cuyas extensionesal bidual alcanzan su norma. Tratamos, además, estos problemas en el marco de idealesde operadores multilineales. Dado X un espacio de Banach cuyo dual es separable y tiene la propiedad de aproximación,probamos que el conjunto de polinomios homogéneos de X en un espacio dual Y' cuya extensiónde Aron-Berner alcanza la norma, es denso en todo el espacio. Para ello establecemos unafórmula integral para la dualidad entre tensores y polinomios homogéneos. Extendiendo la dualidad al espacio de polinomios de grado a lo sumo k, obtenemos unafórmula integral análoga a la del caso homogéneo. Luego, bajo las mismas hipótesis que antessobre los espacios de salida y de llegada, probamos teoremas del tipo Lindenstrauss para elespacio de polinomios de grado a lo sumo k y para el álgebra de funciones holomorfas en labola abierta B°x y uniformemente continuas en la bola cerrada Bx. Con las misma técnicas, obtenemosun resultado análogo para el espacio de operadores multilineales simétricos. En todoslos casos anteriores, probamos que los resultados del tipo Lindenstrauss también se satisfacensi las funciones toman valores en cualquier espacio Z con la propiedad (β) de Lindenstrauss. Por otro lado, mostramos que el ya conocido teorema de Lindenstrauss multilineal sobredensidad de operadores N-lineales cuyas extensiones de Arens alcanzan la norma (aquí, sinhipótesis adicionales sobre los espacios de salida y de llegada), se extiende a cualquier idealde operadores N-lineales que verifique cierta hipótesis de estabilidad. Como consecuencia deeste resultado, en el caso de operadores bilineales y de formas trilineales obtenemos el teoremade Lindenstrauss para cualquier ideal. También, abordamos una versión cuantitativa (del tipo Bollobás) de estos resultados. Mostramos que un resultado del tipo Lindenstrauss-Bollobás nose satisface con total generalidad en ningún ideal de multilineales. Haciendo uso de ciertos preduales de espacios de sucesiones de Lorentz, mostramos ejemplosen los cuales no se verifica un resultado del tipo Bishop-Phelps polinomial y multilinealsimétrico, pero sí se verifican nuestros resultados del tipo Lindenstrauss (es decir, las funcionesque alcanzan la norma no son densas en el espacio, pero aquellas cuyas extensiones al bidualalcanzan la norma sí lo son). Estos mismos espacios son contraejemplos a resultados del tipo Lindenstrauss-Bollobás. Mostramos también, un ejemplo para funciones holomorfas a valoresvectoriales en el cual no se verifica Bishop-Phelps pero sí se verifica Lindenstrauss. Analizamos una versión fuerte de los teoremas de Lindenstrauss y Bishop-Phelps en el álgebrade funciones holomorfas uniformemente continuas en Bx, al considerar, en este espacio, lanorma dada por ǁfǁs = sup{ ǁf(x)ǁ : ǁxǁ ≤ s} para 0 < s ≤ 1.
On this thesis, we study problems related to the density of norm-attaining functions. Bymeans of linearization techniques through tensor products, we obtain Lindenstrauss-type resultsof density of functions whose extensions to the bidual attain their norms. We also treatthese problems in the context of ideals of multilinear mappings. Given a Banach space X whose dual is separable and has the approximation property, weprove that the set of homogeneous polynomials from X to a dual space Y' whose Aron-Bernerextensions attain the norm, is dense in the whole space. For this purpose we stablish an integralformula for the duality between tensor products and homogeneous polynomials. Extending the duality to the space of polynomials of degree less than or equal to k, weobtain an analogous integral formula. Then, under the same hypothesis on the domain andrange spaces, we prove Lindenstrauss-type theorems for the space of polynomials of degreeless than or equal to k and for the algebra of holomorphic functions in the open unit ball B°xwhich are uniformly continuous in the closed unit ball Bx. Using the same techniques, weobtain an analogous result for the space of symmetric multilinear mappings. We prove that allthese Lindenstrauss-type results also hold for functions with values in any Banach space Z withthe property (β) of Lindenstrauss. On the other hand, we show that the already known multilinear Lindenstrauss theoremabout density of N-linear mappings whose Arens extensions attain the norm (here, without theadditional hypothesis on the domain and range spaces), can be extended to any ideal of N-linearmappings satisfying certain stability hypothesis. As a consequence of this result, we obtain the Lindenstrauss theorem for any ideal of bilinear mappings and trilinear forms. Also, we addressa quantitative (Bollobás-type) version of these results.We show that a Lindenstrauss-Bollobás-typetheorem is not satisfied with full generality in any ideal of multilinear mappings. Making use of preduals of Lorentz sequence spaces, we exhibit examples in which thereis no Bishop-Phelps theorem for polynomials and symmetric multilinear mappings, but our Lindenstrauss-type theorems apply (that is, the norm-attaining functions are not dense in thewhole space, but those whose extensions to the bidual attain the norm, are dense). The samespaces are counterexamples to Lindenstrauss-Bollobás-type results. We also show an examplefor vector-valued holomorphic functions, in which there is no Bishop-Phelps theorem but the Lindenstrauss theorem is satisfied. We study a strong version of the Lindenstrauss and Bishop-Phelps theorems in the algebraof holomorphic functions which are uniformly continuous in Bx, considering, in this space,the norm given by ǁfǁs = sup{ ǁf(x)ǁ : ǁxǁ ≤ s} para 0 < s ≤ 1.
Fil: Mazzitelli, Martín Diego. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.