Análisis de métodos de elementos finitos para problemas singularmente perturbados

• Autores: Lombardi, Ariel Luis
• Año de publicación: 2004
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Durán, Ricardo Guillermo
• Materia: ELEMENTOS FINITOS; ELEMENTOS ANISOTROPICOS; PROBLEMAS SINGULARMENTE PERTURBADOS; NORMAS CON PESOS; GALERKIN DISCONTINUO; FINITE ELEMENTS; ANISOTROPIC ELEMENTS; SINGULARLY PERTURBED PROBLEMS; WEIGHTED NORMS; DISCONTINUOUS GALERKIN
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Proponemos y analizamos métodos de elementos finitos para problemas estacionarios singularmente perturbados, tales como problemas de reacción-difusión o de convección-difusión. Es conocido que la técnicas de discretización estándares no producen buenas aproximaciones a la solución de esta clase de problemas si el parámetro de perturbación es pequeño debido a la presencia de capas límites o internas. Estamos interesados en métodos robustos que funcionen adecuadamentepara todos los valores del parámetro de perturbación singular. Consideramos dos técnicas diferentes. Una de ellas se basa en refinamientos locales de la malla cerca de las capas límites. Usamos que la solución está en espacios de Sobolev con peso para probar estimaciones del error de interpolación sobre mallas rectangulares adecuadamente graduadas. Introducimos un operadorde interpolación de promedios para el cual probamos estimaciones de error bajo la condición de que elementos vecinos tengan longitudes comparables en cadadirección. Esta condición es verificada por mallas que aparecen naturalmente en la aproximación de capas límites. También consideramos la aproximación defunciones que se anulan en el borde por funciones con la misma propiedad. Finalmente, nuestras estimaciones permiten sobre el lado derecho normas de Sobolev con pesos, donde el peso está relacionado con la distancia al borde. Proponemos también un método de Galerkin Discontinuo (DG) con estabilización de tipo Exponential Fitting para resolver un problema de interés en semiconductores. El método DG considerado es una variante del método de Interior Penalty. Analizamos el método propuesto en las formulaciones mixta y primal, y presentamos ejemplos númericos que muestran resultados adecuados. Finalmente probamos estimaciones de error óptimas para el método DG introducido en el caso de un problema regular.
We develop and analyze finite element methods for stationary singularly perturbed problems such us reaction-diffusion or convection-diffusion problems. It is known that standard discretization techniques do not give good approximations to the solution of this kind of problems when the perturbation parameter is small because of the presence of boundary or internal layers. We are interested in obtaining robust methods that work for all the values of the singular pertubation parameter. We consider two different finite element techniques. One of them is based on mesh refinements near the boundary layers. We use the fact that the solution is in weighted Sobolev spaces in order to prove interpolacion error estimates on suitably graded rectangular meshes. We prove our error estimates for a mean interpolation operator under the mild condition that neighboring elements have comparable sizes in each direction. This condition is verified for the meshesthat appear naturally in the approximation of boundary layers. Also we consider the aprproximation of function vanishing on the boundary by functions with the same property. Finally, our estimates allow on the right hand side some weighted Sobolev norms where the weight is related with the distance to the boundary. We also propose a Discontinuous Galerkin (DG) method with stabilization of Exponential Fitting type to approximate the solution of a problem of interest in semiconductors. The DG method considered here is a modification of the Interior Penalty method. We analyze the proposed method in mixed and primal formulation paying attention to the presence of "overflow", and we present some numerical examples showing adequate results. Finally we prove optimal error estimates for the DG method introduced here for a regular problem.
Fil: Lombardi, Ariel Luis. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.