Multiplicidad de soluciones para ecuaciones tipo Yamabe en variedades

• Autores: Rey, Carolina Ana
• Año de publicación: 2018
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Amster, Pablo Gustavo; Petean, Jimmy
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Sea (M; g) una variedad riemanniana cerrada de dimensión n. El problema de Yamabe radica en encontrar una métrica conforme a g con curvatura escalar constante. Se sabe que la respuesta es sí, y fue probado por Yamabe, Trudinger, Aubin y Schoen. La métrica conforme ˜g = u˄(p-2)g tiene curvatura escalar constante λ si y solo si u satisface la ecuación de Yamabe: [-4(n-1)/(n-2)]Δgu + Sgu = λu(n+2)/(n-2)donde Sg es la curvatura escalar de g, Δg es el operador de Laplace-Beltrami respecto g y λ es cualquier constante en R. En los trabajos de Yamabe [40], Trudinger [39], Aubin [3] y Schoen [37] se prueba que la ecuación de Yamabe siempre tiene al menos una solución positiva. En esta tesis obtenemos resultados sobre multiplicidad de soluciones de ecuaciones tipo Yamabe. En primer lugar, suponemos que Ω es una región de S^3 que es invariante por la acción natural de T^2 y estudiamos la multiplicidad de soluciones positivas de la ecuación: ΔS^3u = -(u^5 + λu) en Ω;que se anulen en el borde de Ω, donde ΔS^3 es el operador de Laplace-Beltrami respecto de la métrica redonda de S^3. H. Brezis y L. A. Peletier en [14] consideran el caso en el que Ω es invariante por SO(3), es decir, cuando es un casquete esférico. En este trabajo mostramos que el número de soluciones de (2) aumenta cuando λ --> -∞, dando una respuesta a un caso particular de un problema abierto propuesto por H. Brezis y L. A. Peletier en [14]. En segundo lugar, estudiamos la ecuación de Yamabe en una variedad producto. Sea (M; g) una variedad riemanniana cerrada de dimensión n λ 3 y x0 2 M sea un máximo o mínimo local aislado de la curvatura escalar S g de g. Demostramos que para cualquier entero positivo k, si є > 0 es suficientemente chico y q < (n+2/n-2) , entonces la ecuación subcrítica -є2Δgu + (1 + є^2λ Sg)u = u^qtiene una solución positiva uk que se concentra alrededor de x0, para los valores de λ que hacen que cierta constante βλ no sea cero. Esto proporciona soluciones a la ecuación de Yamabe en productos riemannianos (MxN; g+єh), donde (N; h) es una variedad riemanniana con curvatura escalar positiva constante.
Let (M; g) be a closed n-dimensional Riemannian manifold. The Yamabe problem lies in finding a metric conformal to g with constant scalar curvature. The answer is now known to be yes, and it was proved by Yamabe, Trudinger, Aubin and Schoen. The conformal metric ˜g = up-2g has constant scalar curvature λ if and only if u satisfies the Yamabe equation: [-4(n-1)/(n-2)]Δgu + Sgu = λu(n+2)/(n-2)where Sg is the scalar curvature of g, Δg is the Laplace-Beltrami operator of g and λ 2 R is any constant. In the works of Yamabe [40], Trudinger [39], Aubin [3] and Schoen [37] it was proved that the Yamabe equation always has at least one positive solution. We will study mutiplicity results for Yamabe-type equations. In the first place, we suppose that Ω is a region of S^3 which is invariant by the natural T^2-action and we study the multiplicity of positive solutions of the equation: ΔS^3u = -(u^5 + λu) en Ω;that vanish on the boundary of Ω, where ΔS3 is the Laplace-Beltrami operator of the round metric in S^3. H. Brezis and L. A. Peletier in [14] consider the case in which Ω is invariant by the SO(3)-action, namely, when Ω is a spherical cap. We show that the number of solutions of (1) increases as λ --> -∞, giving an answer of a particular case of an open problem proposed by H. Brezis and L. A. Peletier in [14]. In the second place, we study a Yamabe-type equation on a product manifold. Let (M; g) be a closed Riemannian manifold of dimension n λ 3 and x0 2 M be an isolated local maximum or minimum of the scalar curvature S g of g. For any positive integer k we prove that if є > 0 is small enough and q < (n+2/n-2) , then the subcritical equation -є2Δgu + (1 + є^2λ Sg)u = u^qhas a positive solution uk which concentrates around x0, for those values of λ such that a constant βλ is non-zero. This provides solutions for the Yamabe equation on Riemannian products (MxN; g+єh), where (N; h) is a Riemannian manifold with constant positive scalar curvature.
Fil: Rey, Carolina Ana. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.