Convexidad geodésica, espacios simétricos y operadores de Hilbert-Schmidt

• Autores: Larotonda, Gabriel Andrés
• Año de publicación: 2005
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Andruchow, Esteban
• Materia: OPERADOR DE HILBERT-SCHMIDT; OPERADOR POSITIVO; GEODESICA; CONVEXIDAD; FACTORIZACION; ESPACIO SIMETRICO; GRUPO UNITARIO; ESPACIO HOMOGENEO; HILBERT-SCHMIDT CLASS; POSITIVE OPERATOR; GEODESIC; CONVEXITY; FACTORIZATION; SYMMETRIC SPACE; UNITARY GROUP; HOMOGENEOUS SPACE
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En un conjunto de operadores inversibles y positivos (concretamente en el grupo de operadores Hilbert-Schmidt con unidad adjunta) se introduce una estructura Riemanniana natural que convierte este espacio en una variedad simétrica de curvatura seccional no positiva. Este espacio puede describirse como un cociente mediante la acción de automorsmos interiores. Estudiamos las subvariedades Riemannianas geodésicamente convexas, que resultan ser caracterizables por una propiedad algebraica de su tangente; en particular estudiamos el grupo de isometrías de estas subvariedades. Mostramos cómo cualquier espacio simétrico del tipo no compacto puede ser isométricamente identicado con una de estas subvariedades mencionadas. Para cualquier subvariedad convexa y cerrada, construimos una proyección ortogonal que permite factorizar cualquier operador de la variedad mediante un factor en la subvariedad y un factor ortogonal a la misma. Esta factorización es única (y depende analíticamente de los parámetros). Incluimos una sección dedicada al estudio de la geometría de las órbitas unitarias de un operador fijo, donde calculamos las geodésicas de estas órbitas para las distintas métricas que pueden introducirse.
A natural Riemannian structure is given to the set of positive invertible (unitized) Hilbert-Schmidt operators; this metric makes this set a nonpositively curved, infinite dimensional Hilbert manifold. We give an intrinsic (algebraic) characterization of such submanifolds, and we study their group of isometries. We show that any symmetric space of the noncompact type can be isometrically embedded in this manifold. For any convex, closed submanifold we construct an orthogonal projection by means of the Riemannian exponential, a projection which provides a unique factorization for any operator in the manifold; the factors being an operator in the submanifold and the exponential of an operator orthogonal to the submanifold. We include a nal section devoted to the study of the unitary orbits of a xed operator and the diverse geometries that arise from endowing this orbit with different Riemannian metrics.
Fil: Larotonda, Gabriel Andrés. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.