Morfismos entre álgebras de funciones holomorfas desde el espectro vectorial - Singer, Joaquín Camilo (2021)
En este trabajo estudiamos el espectro vectorial, esto es, el conjunto de morfismos de álgebras no nulos con dominio en una de las siguientes álgebras de funciones holomorfas: Hb(X) (funciones holomorfas de tipo acotado en X), H∞(BX) (funciones holomorfas y acotadas en la bola unidad BX) o Au(BX) (funciones holomorfas y uniformemente continuas en BX) a valores en el álgebra H∞(BY ), donde X e Y son espacios de Banach de dimensión infinita. El estudio de este espectro nos permite relacionar los morfismos entre álgebras de funciones holomorfas con herramientas que son propias del estudio escalar. Principalmente nos centramos en tres aspectos fundamentales: fibras, partes de Gleason y conjuntos cluster. En una primera instancia analizamos el espectro vectorial en su definición general. Establecemos una estructura de dominio de Riemann para Mb,∞(X, BY ) (los morfismos de álgebras continuos y no nulos de Hb(X) en H∞(BY )) sobre H∞(BY , X∗∗) y estudiamos las fibras resultantes. Luego relacionamos este espectro con Mu,∞(BX, BY ) (morfismos de Au(BX) en H∞(BY )) y M∞(BX, BY ) (morfismos de H∞(BX) en H∞(BY )) via la función radio. Completamos nuestro análisis del caso general definiendo la versión vectorial de partes de Gleason y conjuntos Cluster y analizando la relación entre estos conjuntos con las previamente estudiadas fibras. En segunda instancia nos abocamos al estudio de los espectros M∞(Bc0, Bc0) y Mu,∞(Bc0,Bc0) correspondientes a los morfismos entre álgebras de funciones holomorfas en el polidisco infinito. A fin de buscar copias analıticas de una bola infinito dimensional en todas las fibras del espectro M∞(Bc0, Bc0) mejoramos resultados existentes sobre el espectro escalar. El espectro M∞(Bc0) se proyecta naturalmente sobre Bl∞. Extendiendo un resultado de Cole, Gamelin y Johnson y respondiendo una pregunta abierta planteada por Aron, Falco, Garcıa y Maestre probamos que todas las fibras de este espectro contienen una copia analıtica de Bl∞. Construyendo en base a este resultado escalar obtenemos inyecciones analıticas para todas las fibras en el espectro vectorial M∞(Bc0, Bc0). Relacionamos luego esta estructura de las fibras con las partes de Gleason correspondientes a este espectro. Por último estudiamos el espectro Mu,∞(Bl2, Bl2). Nuevamente para conseguir resultados sobre las fibras vectoriales obtenemos primero un resultado sobre las fibras escalares, esta vez para el espectro Mu(Bl2), que nos indica que podemos obtener una copia analıtica de la bola Bl2 en todas las fibras sobre elementos de Bl2 y que la forma de construir estas inyecciones analíticas puede hacerse de manera holomorfa. Con esta construcción obtenemos inyecciones analíticas para las fibras sobre elementos en BH∞(Bl2,l2). Analizamos luego los casos restantes, presentando condiciones para las cuales estas fibras contienen una copia analítica de una bola o resultan conjuntos de un solo elemento. Completa nuestro análisis de este espectro el estudio de los conjuntos cluster definidos previamente, sobre los cuales obtenemos condiciones que aseguran que estos conjuntos contienen estructuras analíticas.